莫比乌斯反演 学习笔记

供复习，没证明。

要开始这个知识点，首先要了解一些 数论函数。

• 数论函数： 定义域为正整数，值域为复数的一个子集的函数。

一、基本数论函数及性质

• 元函数 \(\epsilon(n)=[n=1]\)

• \(1\) 函数 \(1(n)=1\)

• 除数函数 \(\sigma_k(n)=p^k\)，其中 \(p\) 为 \(n\) 的约数。

  特别地，\(\sigma_0(n)\) 代表 \(n\) 的约数个数，\(\sigma_1(n)\) 代表 \(n\) 的约数个数和。

• 幂函数 \({I}_k(n)= n^k\)

  特别地，\(I_0(n)= 1\) ，\(I_1(n)= n\)。\(I_1\) 一般可以简写为 \(I\) 。

• 欧拉函数 \(\varphi(n)\) 代表 \([1,n]\) 内与 \(n\) 互质的正整数个数。

• 莫比乌斯函数

  \[\mu(n)\begin{cases} 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n = 1\\ (-1)^k \ \ \ \ \ \ \ \ \ n = p_1p_2p_3...p_k\\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ otherwise \end{cases}\]

  其中 \(p_1p_2...p_k\) 为互不相同的质数。

这六个数论函数会比较常用。他们都有一个共同的性质：积性函数。

• 积性函数 对于一个数论函数，若 \(a,b\) 互质，如果 \(f(a)f(b) = f(ab)\) 成立，则称 \(f\) 是积性函数。

• 完全积性函数 对于一个数论函数，如果 \(f(a)f(b) = f(ab)\) 成立，则称 \(f\) 是积性函数（即不要求 \(a,b\) 互质）。

二、狄利克雷卷积

• 定义

两个数论函数 \(f,g\) 的 卷积 为 \(h\) ，满足：

\[h(n)=\sum_{i\mid n}f(i) \ g(\frac ni) \]

记作 \(h = f * g\)

• 常用的卷积（特别是前三个）

1. \(I =\varphi * 1\)，即 \(\sum_{i\mid n}\varphi(i)=n\)

2. \(\epsilon =\mu * 1\)，即 \(\sum_{i\mid n}\mu(i)=[n=1]\)

3. \(\varphi =\mu * I\)，即 \(\sum_{i\mid n}\mu(i) \times i = \varphi(n)\)

4. \(I * 1 = \sigma_1\)

5. \(1 * 1 = \sigma_0\)

• 性质

1. 若两个数论函数 \(f,g\) 为积性函数，则其卷积 \(h\) 也是积性函数。

2. 卷积满足 交换律 和 结合律 。即 \(f * g = g * f\) 以及 \(f*(g*h)=(f*g)*h\)

3. 任何数论函数卷上元函数均为其本身，即 \(f * \epsilon = f\) 。

三、莫比乌斯反演

开始之前，先复习一个内容：

• 整除分块

  求一个形如 \(\begin{aligned}\sum_{i=1}^n \lfloor \frac ni \rfloor\end{aligned}\) 的值，我们需要 \(O(n)\) 枚举吗？

  显然不用。原因是有大量的 \(\lfloor \frac ni \rfloor\) 是重复的。比如说，当 \(n = 10\) ，\(i = 6,7,8,9,10\) 的时候 \(\lfloor \frac ni \rfloor\) 都是一样的。

  所以我们在枚举 \(i\) 的时候，不用每次都写 i++，而是可以令 next_i=n/(n/i)+1，得到的 next_i 就是下一次的 i。这样的时间复杂度为 \(O(\sqrt{n})\)。

  简单证明：

  当 \(1 ≤ i ≤\sqrt{n}\) , 显然 \(\lfloor \frac ni \rfloor\) 最多只有 $ \sqrt{n}$ 种取值。

  当 \(\sqrt{n} ≤ i ≤ n\) , 显然 \(1 ≤ \lfloor \frac ni \rfloor ≤ \sqrt{n}\) ，最多也只有 $ \sqrt{n}$ 种取值。

  每次跳到下一个 i（即 next_i），易知 \(\lfloor \frac ni \rfloor\) 都会 +1，故得证。

• 莫比乌斯反演定理 若 \(g = f * 1\) ，则 \(f = g * \mu\) 。

  • 略证：

    因为 \(g = f * 1\)

    故 \(f = f * \epsilon = f * 1 * \mu = g * \mu\)

    即证。

• 莫比乌斯反演的变形 \(g(n)=\sum_{n\mid d}f(d)\) 等价于 \(f(n)=\sum_{n\mid d}\mu\left(\frac dn\right)\ g(d)\)

  记忆：即将 整除 和 分数 的地方将 \(n,d\) 交换了。

• 反演的意义

  将一些式子通过 莫比乌斯反演定理 变形，可以对式子进行线性的初始化（e.g 线性欧拉筛 / 线性筛 \(\mu\) ），将复杂度降至 \(O(n)\)。

  进一步地，通过 整除分块 , 能够把复杂度进一步降低到 \(O(\sqrt{n})\)。

四、小结和提示

1. 看到 \([\gcd = k]\) 的形式，要第一时间想到莫比乌斯反演。

2. 没有思路时，考虑交换求和顺序。

题

P3455 [POI2007] ZAP

P2522 [HAOI2011] Problem B

P2257 YY 的 GCD

P3327 [SDOI2015] 约数个数和