树状数组区间修改+单点查询详解
树状数组区间修改+单点查询详解
阅读前需掌握的前置知识：树状数组的基本概念和它的单点修改+区间查询操作。
众所周知，树状数组这一结构可以很好的解决动态前缀和的问题。单点修改+区间查询是它最常见的套路。但树状数组的强大功能可不止这一个，今天就为大家介绍它的区间修改+单点查询功能。不得不佩服，为树状数组赋予这一功能的人脑洞真的是太大。我们想想，怎样才能把单点查询转换为前缀和的问题呢？
这里就要运用到一个妙不可言的思想：差分。它大概说的就是算出两项之差，然后进行处理。
我们把原数组命名成sum，然后引入delta差分数组，令delta[i]=sum[i]-sum[i-1]。注意，在这里默认sum[0]=0。
先陈述一个事实：
为什么呢？很简单，我们把delta数组之和这个式子转换一下:
delta[1]+delta[2]+...+delta[i-1]+delta[i]
=sum[1]-sum[0]+sum[2]-sum[1]+...+sum[i-1]-sum[i-2]+sum[i]-sum[i-1]
=sum[0]+sum[i]
=sum[i]
是不是有一种恍然大悟的感觉？~~~
心细的同学可能已经注意到了，由delta数组维护sum数组的时候，不就是一个前缀和吗！！！我们就可以运用树状数组来维护了！具体来说，我们以delta数组为树状数组来维护，每次更新差分序列，当要查询某个数时，直接前缀和累加就好了。
这里还有一个重点，就是如何add给区间加数。这里也是一个最巧妙的地方。
我们假设现在有一个数列：1 5 3 8 9。如果我们把[2,4]这个区间统一加上3，那么原数列变为：1 8 6 11 9。
现在我们对比来看原数列和现数列的差分序列：原：1 4 -2 5 1 现：1 7 -2 5 -2
我们可以很清楚的看到，除了delta[2]和delta[5]，其他差分数都没有发生变化。如果你再多列举一些例子，就会发现，若在[l,r]这个区间里统一加上x，那么差分序列的改变为：delta[l]+=x,delta[r+1]-=x。那么这是为什么呢？很简单，如果两个相邻的元素同时加上一个数或者同时不改变，那么他们的差也不会改变。对比整个数列中两两相邻的情况，发现只有这两组数，没有进行统一改变，那么差值自然改变。至于一个是+=一个是-=，就不用说了吧，想一想就知道为什么了~~~
请仔细咀嚼一下这句精妙的话：差分是前缀和的逆运算
大体就是这样子啦！最后总结一下区间修改+单点查询的要点！
1：注意是维护差分数组，一习惯就可能打成普通树状数组。
2.add的时候以单点修改+区间查询为基本框架，只是以差分为思想，每次进行add(l,x)和add(r+1,-x)。
3.查询第x个位置的数的时候，直接求前x个位置的前缀和就好了。
下面给出标准的区间修改+单点查询的代码：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define MX 100005 3 using namespace std; 4 int n,ans[MX],tree[MX];int lowbit(int x){return x&-x;} 5 void add(int x,int q){while(x<=n){tree[x]+=q;x+=lowbit(x);}} 6 int query(int x){ 7 int tot=0;while(x>=1){tot+=tree[x];x-=lowbit(x);}return tot; 8 } 9 int main(){ 10 int m,k,last=0;cin>>n>>m>>k; 11 for(int i=1;i<=n;i++){int q;cin>>q;add(i,q-last);last=q;} 12 for(int i=1;i<=m;i++){int le,ri,q;cin>>le>>ri>>q;add(le,q);add(ri+1,-q);} 13 for(int i=1;i<=k;i++){int q;cin>>q;ans[i]=query(q);} 14 for(int i=1;i<=k;i++)cout<<ans[i]<<' '; 15 return 0; 16 }
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