ST表算法详解

 ST表算法详解

       关于ST表，有很多文章，这里本蒟蒻也来发一波~~ 希望能为您提供帮助~~

     ST表算法全称Sparse-Table算法，是由Tarjan提出的一种解决RMQ问题（区间最值）的强力算法。离线预处理时间复杂度 θ（nlogn），在线查询时间θ（1），可以说是一种非常高效的算法。不过ST表的应用场合也是有限的，它只能处理静态区间最值，不能维护动态的，也就是说不支持在预处理后对值进行修改。一旦修改，整张表便要重新计算，时间复杂度极高。动态最值可以用线段树、树状数组等来维护。

     ST表之所以广为使用，不仅因为它的时间复杂度优秀，还因为它的代码思路比较清晰，码量比较合适。核心的代码主要集中预处理和查询上。那么接下来我们就先来讲讲它的预处理（下面都以区间最小值来讲，最大值可以类推）。设st[i][j]表示从第 i 个数起向后连续2^j个数中的最小值。注意，是包括第 i 个数在内的2^j个数。那么，我们可以得到转移方程：

     1.st[i][0]=第i个数（很明显，2^0==1，从第i个数起向后数1个数，当然只有它自己。)

     2.st[i][j]=min{ st[i][j-1] , st[i+(1<<j-1)][j-1]}（j≠0）(其实也挺好理解的。请看下图：                                

      （把整个2的j次方区间分成两个2^(j-1)区间，那么整个大区间的最小值就是两个已计算过的区间最小值的最小值。第一个区间很明白，是st[i][j-1]，就是从左端点 i 起向右数2^(j-1) 个数。第二个区间长度还是2^(j-1)，但是左端点需要由 i 加上上一个区间的长度，毕竟它们是连在一起的。）

    以上，就是ST表的初始化部分。

    接下来，我们来讲讲查询。假设每次查询的左右端点分别为le和ri。思路：首先找到一个值k，k的含义是“最大的2^k不超过查询区间长度（ri-le+1）”。举个例子：le=1，ri=9，那么k最大为3，2^k==8,不超过区间长度。那么我们找两个长度为2^k的区间，一个以le为左端点，一个以ri为右端点。由于k最大，所以可以肯定，这两个小区间一定覆盖了整个大区间。那么，虽然两个小区间会有重叠部分，但是这里要求的是最小值，而非求和，所以这两个小区间最小值中的最小值，一定是整个区间的最小值！

    再细一点的说，一个区间为st[le][k],还有一个为st[ri-(1<<k)+1][k],那么：

    查询函数query(le,ri)=min{st[le][k],st[ri-(1<<k)+1][k]}。再次强调：重叠的小区间不影响整个区间的最小值！

    再总结一下查询的过程：1.找到k    2.返回两个st之间的最值

    到这里，ST表的一般实现已被剖析完毕。下面为大家提供多次查询区间最小值的代码。

 

#include<bits/stdc++.h>
#define MX 100005
using namespace std;
int n,ans[(MX<<1)+MX<<3],st[MX][17];
void getrd(){
    for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
            st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+(1<<j-1)][j-1]);
}
int query(int le,int ri){
    int k=0;while(le+(1<<k+1)-1<=ri)k++;
    return max(st[le][k],st[ri-(1<<k)+1][k]);
}
int main(){
    int m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>st[i][0];
    getrd();
    for(int i=1;i<=m;i++){int le,ri;cin>>le>>ri;ans[i]=query(le,ri);}
    for(int i=1;i<=m;i++)cout<<ans[i]<<endl;
    return 0;
}

   

    谢谢！这篇博客就到此结束了！希望对你有帮助！喜欢的话记得点赞哦~~