信号复习

第一章信号与系统

作者:莫钟雨

作者(大三学生)水平有限,如有错误,敬请谅解

参考资料:《信号与系统(第二版)》· 奥本海姆

本章思维导图

信号本身

信号可以描述范围及其广泛的一类物理现象,但在所有情况下,信号所包含的信息总是寄寓在某种变化形式的波形中。

信号能量

  • 连续时间

    \[{E_\infty} = \int_{-\infty}^{+\infty} {|x(t)|}^2 dt \]

  • 离散时间

    \[{E_\infty} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} {|x[n]|}^2 \]

信号功率

  • 连续时间

    \[{P_\infty} \approx\lim^{}_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} {|x(t)|}^2 dt \]

  • 离散时间

    \[{P_\infty} \approx\lim^{}_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{+N} {|x[n]|}^2 \]

信号分类

自变量变换

  • 时移
  • 时间反转
  • 时间尺度变换

周期信号

一个周期连续时间信号,存在一个正值的 \(T\),对所有 \(t\) 来说,有

\[x(t) = x(t + T) \]

换句话说,当一个信号\(x(t)\)时移\(T\) 后其值不变,这时就说\(x(t)\)是周期信号

奇信号与偶信号

任何信号都可以分解为一个奇信号和一个偶信号之和。

指数信号与正弦信号

连续时间复指数信号与正弦信号

\[x(t) = Ce^{at} \]

  • 实指数信号(\(C\)\(a\)都是常数)

    图像类似于指数函数

  • 周期复指数信号(将\(a\)限制为纯虚数)与正弦信号

\(a\)为纯虚数时,\(x(t) = e^{jw^{}_{0}t}\)是周期信号,下面是推证:

若存在\(T\)使得,\(e^{jw_0t}=e^{jw_0(t + T)}\)成立,则x(t)是周期的。

\[e^{jw_0(t + T)} = e^{jw_0t}*e^{jw_0T} \]

\(e^{jw_0T} = 1\)时,\(x(t)\)是周期的,此时根据欧拉公式(\(e^{j\pi} + 1 = 0\))可得:

\[T_0 = \frac{2\pi}{|w_0|} \]

\(T_0\)就是基波周期

  • 一般复指数信号(\(C和a\)都是复数)

\[Ce^{at} = |C|e^{j\Theta}e^{(r + jw_0)t} = |C|e^{rt}e^{j(w_0t + \Theta)} \]

离散时间复指数信号与正弦信号

  • 实指数信号

    与连续时间基本一致

  • 周期复指数信号

    重新审视连续时间周期复指数信号周期性成立的条件:

    \[e^{jw_0T} = 1 \]

    等效于连续时间内的:

    \[e^{jw_0N} = 1 \]

    要满足此条件意味着:

    \[w_0N = 2\pi m (m为整数) \]

    即:

    \[\frac{w_0}{2\pi} = \frac{m}{N} \]

    \(\frac{w_0}{2\pi}\)为有理数时,\(x(t)\)为周期信号

  • 一般指数信号

    与连续时间基本一致

离散时间复指数信号性质(略)

  • 周期特点

  • 与连续时间对比

基本系统性质

记忆系统与无记忆系统

  • 无记忆系统

    • 对自变量的每一个值,一个系统的输出仅仅取决于该时刻的输入
  • 记忆系统

可逆性与可逆系统

  • 不同输入产生不同输出

因果性

  • 对每个自变量,系统的输出只取决于现在的输入及过去的输入

稳定性

  • 有界输入产生有界输出

时不变性

  • 系统特性和行为不随时间改变
    • \(输入x_1(t),响应为y_1(t), 当输入为x_1(t - t_0)时,产生响应y_1(t - t_0)\)

线性

  • 齐次性
    • \(ay_1(t)是对ax_1(t)的响应,此处a为任意复常数\)
  • 可加性
    • \(y_1(t) + y_2(t)是对x_1(t) + x_2(t)的响应\)

单位冲击和阶跃函数(略)

posted @ 2020-07-18 15:23  Sophomores  阅读(30)  评论(0编辑  收藏