虚树
0.前言
若干年前会过一次，然后就不会了。
现在又会了。
1.虚树
存在这样一类问题，多次询问，每次给你 \(k\) 个特殊/关键点，要求有关这 \(k\) 个点的某种信息，并且题目保证了或隐含了 \(\sum k \le lim\)，那么可以考虑使用虚树解决。
虚树，即将这 \(k\) 个点提出，并按照原树上的节点关系，建立一棵大小约为 \(2k\) 的树，可以在这棵树上求答案。
这里仅介绍二次排序 + LCA 的建树方法。
- 将关键点按照
dfs序排序； - 将排序后相邻两点的 LCA 加入，再按
dfs序排序并去重； - 连 \((LCA(ve_{i - 1},ve_i),ve_i)\) 的边。
对于 2：一般会将点 \(1\) 也加入，便于求答案。
因为按照 dfs 序排序了，所以相邻两点之间一定不会出现 dfs 序介于他们俩到 LCA 的路径上的点，正确性得证。
建树时间复杂度：\(\mathcal{O(\sum k \log n)}\)。
2.题目
2.1.P2495 [SDOI2011] 消耗战
板子题。
我们将虚树建出，接下来考虑树形 DP。
\(f_u\) 表示点 \(u\) 与其子树内所有关键点断开所需最小代价。
对于虚树上 \((u,v)\)：若 \(v\) 是关键点，那么这条边必须断；否则判断是断这条边代价更小还是在 \(v\) 的子树中断若干边代价更小。
显然答案为 \(f_1\)。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define db double
#define ld long double
#define rep(i,l,r) for (int i = (int)(l); i <= (int)(r); ++ i )
#define rep1(i,l,r) for (int i = (int)(l); i >= (int)(r); -- i )
#define il inline
#define fst first
#define snd second
#define ptc putchar
#define Yes ptc('Y'),ptc('e'),ptc('s'),puts("")
#define No ptc('N'),ptc('o'),puts("")
#define YES ptc('Y'),ptc('E'),ptc('S'),puts("")
#define NO ptc('N'),ptc('O'),puts("")
#define vi vector<int>
#define pb emplace_back
#define sz(x) (int)(x.size())
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define me(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define get(x) ((x - 1) / len + 1)
#define debug() puts("------------")
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<int,PII> PIII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
namespace szhqwq {
template<class T> il void read(T &x) {
x = 0; T f = 1; char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
x *= f;
}
template<class T,class... Args> il void read(T &x,Args &...x_) { read(x); read(x_...); }
template<class T> il void print(T x) {
if (x < 0) ptc('-'), x = -x;
if (x > 9) print(x / 10); ptc(x % 10 + '0');
}
template<class T,class T_> il void write(T x,T_ ch) { print(x); ptc(ch); }
template<class T,class T_> il void chmax(T &x,T_ y) { x = x < (T)y ? (T)y : x; }
template<class T,class T_> il void chmin(T &x,T_ y) { x = x > (T)y ? (T)y : x; }
template<class T,class T_,class T__> il T qmi(T a,T_ b,T__ p) {
T res = 1; while (b) {
if (b & 1) res = res * a % p;
a = a * a % p; b >>= 1;
} return res;
}
template<class T> il T gcd(T a,T b) { if (!b) return a; return gcd(b,a % b); }
template<class T,class T_> il void exgcd(T a, T b, T_ &x, T_ &y) {
if (b == 0) { x = 1; y = 0; return; }
exgcd(b,a % b,y,x); y -= a / b * x; return ;
}
template<class T,class T_> il T getinv(T x,T_ p) {
T inv,y; exgcd(x,(T)p,inv,y);
inv = (inv + p) % p; return inv;
}
} using namespace szhqwq;
const int N = 5e5 + 10,inf = 1e9,mod = 998244353;
const ull base = 131,base_ = 233;
const ll inff = 1e18;
const db eps = 1e-6;
int n,m; vector<PII> G[N];
int h[N],e[N],ne[N],w[N],idx,dfn[N],tot;
int d[N],fa[N][20],dis[N][20],f[N];
bool st[N];
il void add(int a,int b,int c) {
e[idx] = b;
w[idx] = c;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx ++;
return ;
}
il void dfs(int u,int faa,int val) {
dfn[u] = ++ tot;
fa[u][0] = faa; dis[u][0] = val;
d[u] = d[faa] + 1;
rep(i,1,18)
fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1],
dis[u][i] = min(dis[u][i - 1],dis[fa[u][i - 1]][i - 1]);
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (j == faa) continue;
dfs(j,u,w[i]);
}
return ;
}
il int LCA(int x,int y) {
if (d[x] < d[y]) swap(x,y);
rep1(i,18,0) if (d[fa[x][i]] >= d[y]) x = fa[x][i];
if (x == y) return x;
rep1(i,18,0) if (fa[x][i] != fa[y][i]) x = fa[x][i],y = fa[y][i];
return fa[x][0];
}
il int calc(int x,int p) {
int ret = inf;
rep1(i,18,0) if (d[fa[x][i]] >= d[p])
chmin(ret,dis[x][i]),x = fa[x][i];
return ret;
}
il void dfss(int u,int faa) {
f[u] = 0;
for (auto x : G[u]) {
int v = x.fst,w = x.snd;
if (v == faa) continue;
dfss(v,u);
if (st[v]) f[u] += w;
else f[u] += min(f[v],w);
}
return ;
}
il void solve() {
//------------code------------
me(h,-1); me(dis,0x3f);
read(n);
rep(i,1,n - 1) {
int a,b,c; read(a,b,c);
add(a,b,c); add(b,a,c);
}
dfs(1,0,inf);
read(m);
while (m -- ) {
int k; read(k);
vi v,ve;
rep(i,1,k) {
int x; read(x);
v.pb(x);
}
sort(all(v),[](int x,int y){ return dfn[x] < dfn[y]; });
ve.pb(1); ve.pb(v[0]);
rep(i,1,k - 1)
ve.pb(LCA(v[i - 1],v[i])),
ve.pb(v[i]);
sort(all(ve),[](int x,int y){ return dfn[x] < dfn[y]; });
ve.erase(unique(all(ve)),ve.end());
rep(i,0,sz(ve) - 1) st[ve[i]] = 0,G[ve[i]].clear();
for (auto x : v) st[x] = 1;
rep(i,1,sz(ve) - 1) {
int lca = LCA(ve[i - 1],ve[i]);
G[lca].pb(ve[i],calc(ve[i],lca));
}
dfss(1,0); write(f[1],'\n');
}
return ;
}
il void init() {
return ;
}
signed main() {
// init();
int _ = 1;
// read(_);
while (_ -- ) solve();
return 0;
}
2.2.CF613D Kingdom and its Cities
同样建出虚树。要使所有关键点两两不连通，因为点权相同，可以直接贪心。
先判掉无解的情况。
若当前点 \(u\) 是关键点且其子树中存在其他关键点，那么子树中有多少关键点答案就加多少；
否则看子树中有多少关键点，若有 \(> 1\) 个，那么占领 \(u\) 点一定不劣；如果仅有 \(1\) 个，考虑放到父亲节点及上面进行处理一定更优。
#include <bits/stdc++.h>
// #define int long long
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define db double
#define ld long double
#define rep(i,l,r) for (int i = (int)(l); i <= (int)(r); ++ i )
#define rep1(i,l,r) for (int i = (int)(l); i >= (int)(r); -- i )
#define il inline
#define fst first
#define snd second
#define ptc putchar
#define Yes ptc('Y'),ptc('e'),ptc('s'),puts("")
#define No ptc('N'),ptc('o'),puts("")
#define YES ptc('Y'),ptc('E'),ptc('S'),puts("")
#define NO ptc('N'),ptc('O'),puts("")
#define vi vector<int>
#define pb emplace_back
#define sz(x) (int)(x.size())
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define me(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define get(x) ((x - 1) / len + 1)
#define debug() puts("------------")
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<int,PII> PIII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
namespace szhqwq {
template<class T> il void read(T &x) {
x = 0; T f = 1; char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
x *= f;
}
template<class T,class... Args> il void read(T &x,Args &...x_) { read(x); read(x_...); }
template<class T> il void print(T x) {
if (x < 0) ptc('-'), x = -x;
if (x > 9) print(x / 10); ptc(x % 10 + '0');
}
template<class T,class T_> il void write(T x,T_ ch) { print(x); ptc(ch); }
template<class T,class T_> il void chmax(T &x,T_ y) { x = x < (T)y ? (T)y : x; }
template<class T,class T_> il void chmin(T &x,T_ y) { x = x > (T)y ? (T)y : x; }
template<class T,class T_,class T__> il T qmi(T a,T_ b,T__ p) {
T res = 1; while (b) {
if (b & 1) res = res * a % p;
a = a * a % p; b >>= 1;
} return res;
}
template<class T> il T gcd(T a,T b) { if (!b) return a; return gcd(b,a % b); }
template<class T,class T_> il void exgcd(T a, T b, T_ &x, T_ &y) {
if (b == 0) { x = 1; y = 0; return; }
exgcd(b,a % b,y,x); y -= a / b * x; return ;
}
template<class T,class T_> il T getinv(T x,T_ p) {
T inv,y; exgcd(x,(T)p,inv,y);
inv = (inv + p) % p; return inv;
}
} using namespace szhqwq;
const int N = 2e5 + 10,inf = 1e9,mod = 998244353;
const ull base = 131,base_ = 233;
const ll inff = 1e18;
const db eps = 1e-6;
int n,q,id[N],cnt,fa[N][20];
int h[N],e[N],ne[N],idx,d[N];
bool vis[N];
vi G[N];
il void add(int a,int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx ++;
return ;
}
il void dfs(int u,int f) {
fa[u][0] = f;
d[u] = d[f] + 1;
rep(i,1,18) fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1];
id[u] = ++ cnt;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (j == f) continue;
dfs(j,u);
}
return ;
}
il int LCA(int x,int y) {
if (d[x] < d[y]) swap(x,y);
rep1(i,18,0) if (d[fa[x][i]] >= d[y]) x = fa[x][i];
if (x == y) return x;
rep1(i,18,0) if (fa[x][i] != fa[y][i]) x = fa[x][i],y = fa[y][i];
return fa[x][0];
}
int ret = 0,st[N];
il void calcans(int u) {
if (vis[u]) st[u] = 1;
int tot = 0;
for (auto v : G[u]) {
calcans(v);
tot += st[v];
}
if (vis[u] && tot) ret += tot;
else if (tot == 1) st[u] = 1;
else if (tot > 1) ++ ret;
return ;
}
il void solve() {
//------------code------------
read(n); me(h,-1);
rep(i,1,n - 1) {
int a,b; read(a,b);
add(a,b); add(b,a);
}
dfs(1,0);
read(q);
while (q -- ) {
int k; read(k);
vi v,ve;
rep(i,1,k) {
int x; read(x);
v.pb(x);
}
sort(all(v),[](int x,int y){ return id[x] < id[y]; });
ve.pb(1); ve.pb(v[0]);
rep(i,1,sz(v) - 1)
ve.pb(LCA(v[i - 1],v[i])),
ve.pb(v[i]);
sort(all(ve),[](int x,int y){ return id[x] < id[y]; });
ve.erase(unique(all(ve)),ve.end());
for (auto x : ve) G[x].clear(),vis[x] = vis[fa[x][0]] = 0,st[x] = 0;
for (auto x : v) vis[x] = 1;
bool fl = 1;
for (auto x : v) if (vis[fa[x][0]]) { fl = 0; break; }
if (!fl) { puts("-1"); continue; }
rep(i,1,sz(ve) - 1) G[LCA(ve[i - 1],ve[i])].pb(ve[i]);
ret = 0;
calcans(1);
write(ret,'\n');
}
return ;
}
il void init() {
return ;
}
signed main() {
// init();
int _ = 1;
// read(_);
while (_ -- ) solve();
return 0;
}
2.3.P3233 [HNOI2014] 世界树
建虚树，考虑 up and down DP。
\(f_u = (dist,id)\)，分别表示最短距离及编号。
分别向上向下更新信息。
考虑最后计算答案怎么做。
对于虚树上 \((u,v)\)，令 \(p\) 为 \(u\) 在原树上和 \(v\) 那条链上的儿子。
如果两点所属的关键点相同，则 \(cnt_{id} \gets siz_p - siz_v\)。
若不同，则倍增跳到分界点，即上半部分所属点与 \(u\) 相同，下半部分所属点与 \(v\) 相同的点 \(mid\)，\(mid\) 自己和 \(y\) 相同。
\(cnt_{id_u} \gets siz_p - siz_{mid},cnt_{id_v} \gets siz_{mid} - siz_v\)。
注意到 \(u\) 某些子树中可能不存在关键点，那么这些子树中的点显然所属与 \(u\) 一致，处理一下即可。
#include <bits/stdc++.h>
// #define int long long
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define db double
#define ld long double
#define rep(i,l,r) for (int i = (int)(l); i <= (int)(r); ++ i )
#define rep1(i,l,r) for (int i = (int)(l); i >= (int)(r); -- i )
#define il inline
#define fst first
#define snd second
#define ptc putchar
#define Yes ptc('Y'),ptc('e'),ptc('s'),puts("")
#define No ptc('N'),ptc('o'),puts("")
#define YES ptc('Y'),ptc('E'),ptc('S'),puts("")
#define NO ptc('N'),ptc('O'),puts("")
#define vi vector<int>
#define pb emplace_back
#define sz(x) (int)(x.size())
#define all(x) x.begin(),x.end()
#define me(a,x) memset(a,x,sizeof a)
#define get(x) ((x - 1) / len + 1)
#define debug() puts("------------")
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<int,PII> PIII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
namespace szhqwq {
template<class T> il void read(T &x) {
x = 0; T f = 1; char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
while (ch >= '0' && ch <= '9') { x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
x *= f;
}
template<class T,class... Args> il void read(T &x,Args &...x_) { read(x); read(x_...); }
template<class T> il void print(T x) {
if (x < 0) ptc('-'), x = -x;
if (x > 9) print(x / 10); ptc(x % 10 + '0');
}
template<class T,class T_> il void write(T x,T_ ch) { print(x); ptc(ch); }
template<class T,class T_> il void chmax(T &x,T_ y) { x = x < (T)y ? (T)y : x; }
template<class T,class T_> il void chmin(T &x,T_ y) { x = x > (T)y ? (T)y : x; }
template<class T,class T_,class T__> il T qmi(T a,T_ b,T__ p) {
T res = 1; while (b) {
if (b & 1) res = res * a % p;
a = a * a % p; b >>= 1;
} return res;
}
template<class T> il T gcd(T a,T b) { if (!b) return a; return gcd(b,a % b); }
template<class T,class T_> il void exgcd(T a, T b, T_ &x, T_ &y) {
if (b == 0) { x = 1; y = 0; return; }
exgcd(b,a % b,y,x); y -= a / b * x; return ;
}
template<class T,class T_> il T getinv(T x,T_ p) {
T inv,y; exgcd(x,(T)p,inv,y);
inv = (inv + p) % p; return inv;
}
} using namespace szhqwq;
const int N = 3e5 + 10,inf = 1e9,mod = 998244353;
const ull base = 131,base_ = 233;
const ll inff = 1e18;
const db eps = 1e-6;
int n,q,d[N],fa[N][20],siz[N];
int h[N],e[N << 1],ne[N << 1],idx;
PII f[N]; int id[N],cnt;
vi G[N]; bool vis[N];
int ret[N];
il void add(int a,int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx ++;
return ;
}
il void dfs(int u,int f) {
d[u] = d[f] + 1;
fa[u][0] = f; id[u] = ++ cnt;
rep(i,1,18) fa[u][i] = fa[fa[u][i - 1]][i - 1];
siz[u] = 1;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (j == f) continue;
dfs(j,u);
siz[u] += siz[j];
}
return ;
}
il int LCA(int x,int y) {
if (d[x] < d[y]) swap(x,y);
rep1(i,18,0) if (d[fa[x][i]] >= d[y]) x = fa[x][i];
if (x == y) return x;
rep1(i,18,0) if (fa[x][i] != fa[y][i]) x = fa[x][i],y = fa[y][i];
return fa[x][0];
}
il int getdis(int x,int y) {
return d[x] + d[y] - 2 * d[LCA(x,y)];
}
il void dfs1(int u) {
f[u] = {inf,0};
if (vis[u]) f[u] = {0,u};
for (auto v : G[u]) {
dfs1(v);
if (f[v].snd) {
int val = getdis(u,f[v].snd);
if (val < f[u].fst) f[u] = {val,f[v].snd};
else if (val == f[u].fst) chmin(f[u].snd,f[v].snd);
}
}
return ;
}
il void dfs2(int u) {
for (auto v : G[u]) {
if (f[u].snd) {
int val = getdis(v,f[u].snd);
if (val < f[v].fst) f[v] = {val,f[u].snd};
else if (val == f[v].fst) chmin(f[v].snd,f[u].snd);
}
dfs2(v);
}
return ;
}
il void calcans(int u) {
int val = siz[u];
for (auto v : G[u]) {
int p = v;
rep1(i,18,0) if (d[fa[p][i]] > d[u]) p = fa[p][i];
val -= siz[p];
if (f[u].snd == f[v].snd) ret[f[u].snd] += siz[p] - siz[v];
else {
int mid = v;
rep1(i,18,0) {
int dis = getdis(f[u].snd,fa[mid][i]),diss = getdis(f[v].snd,fa[mid][i]);
if (dis > diss || dis == diss && f[v].snd < f[u].snd) mid = fa[mid][i];
}
ret[f[u].snd] += siz[p] - siz[mid]; ret[f[v].snd] += siz[mid] - siz[v];
}
calcans(v);
}
ret[f[u].snd] += val;
return ;
}
il void solve() {
//------------code------------
read(n); me(h,-1);
rep(i,1,n - 1) {
int a,b; read(a,b);
add(a,b); add(b,a);
}
dfs(1,0);
read(q);
while (q -- ) {
int m; read(m);
vi v,ve,vec;
rep(i,1,m) {
int x; read(x);
v.pb(x); vec.pb(x);
ret[x] = 0;
}
sort(all(v),[](int x,int y){ return id[x] < id[y]; });
ve.pb(1); ve.pb(v[0]);
rep(i,1,sz(v) - 1)
ve.pb(LCA(v[i - 1],v[i])),
ve.pb(v[i]);
sort(all(ve),[](int x,int y){ return id[x] < id[y]; });
ve.erase(unique(all(ve)),ve.end());
for (auto x : ve) G[x].clear(),vis[x] = 0;
for (auto x : v) vis[x] = 1;
rep(i,1,sz(ve) - 1) G[LCA(ve[i - 1],ve[i])].pb(ve[i]);
dfs1(1); dfs2(1); calcans(1);
for (auto x : vec) write(ret[x],' ');
puts("");
}
return ;
}
il void init() {
return ;
}
signed main() {
// init();
int _ = 1;
// read(_);
while (_ -- ) solve();
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号