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前言 本文将介绍决策单调性优化 DP 的相关内容。持续更新修正,如有差错请指出。 1.四边形不等式优化 1.1 四边形不等式与决策单调性 四边形不等式:如果对于任意的 \(a \le b \le c \le d\) 均成立 \[w(a,d) + w(b,c) \ge w(a,c) + w(b,d) 阅读全文
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常见信息维护 区间和,区间乘积,区间 \(\max ,\min\); 最大子段和:考虑维护最大前后缀,根据最大前后缀能维护最大子段和。 具体的, \(suml(l,r) = \max(suml(l,mid),sum(l,mid) + suml(mid + 1,r))\) \(sumr(l,r) = 阅读全文
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主席树做题记录。 主席树,即可持久化权值线段树。 P3248 [HNOI2016] 树 难爆了这题。题目中会多次把模板树的某个子树放到大树上的某个节点下,我们把这一整个子树看作一个大节点,把模板树、大树分别维护。 具体的,模板树上需要倍增维护两点之间的距离,dfs 序。 大树上需要维护: 大树上大节 阅读全文
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杜教筛 前置:数论分块,莫比乌斯反演,狄利克雷卷积,欧拉函数。 对于数论函数 \(f(n)\),杜教筛能够在线性的时间复杂度内求得 \(\sum\limits_{i=1}^{n} f(i)\) 的值。 只要我们能够构造出另一个数论函数 \(g(n)\),使得 \(\sum\limits_{i=1}^ 阅读全文
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乘法逆元 定义 对于一个线性同余方程 \(ax \equiv 1 \pmod p\),称 \(x\) 为 \(a \bmod p\) 下的逆元,可记作 \(a^{-1}\)。 求法 快速幂求逆元 我们需要使用费马小定理: \[\begin{aligned} ax &\equiv 1 \pmod p\ 阅读全文
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BSGS 简介 BSGS(Baby Step, Giant Step)算法,用于解决高次同余方程,即给定整数 \(a,b,p\),其中 \(a \perp p\) (互质),求解最小非负整数 \(x\) 使得 \(a^x \equiv b \pmod p\)。 算法流程 将 \(a^x \equiv 阅读全文
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欧拉函数 欧拉函数 \(\varphi(n)\) 表示 \(1 \sim n - 1\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。显然的,当 \(n\) 为质数,有 \(\varphi(n) = n - 1\)。 性质与推导 显然的,当 \(\gcd(a,b)\),有 \(\varphi(a \times 阅读全文
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欧几里得算法 用于求解两个数 \(a,b\) 的最大公约数,\(\gcd(a,b) = \gcd(b,a \bmod b)\),为了方便证明,我们约定 \(a > b\),证明: 设 \(r = a \bmod b = a - k \cdot b\),\(d \mid a\) 且 \(d \mid 阅读全文
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数论分块 算法简介 能够在 \(\mathcal{O(\sqrt{n})}\) 的时间复杂度内计算出含有 \(\sum\limits_{i = 1}^{n} \left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor\) 等式子。 令 \(a_i = \left \lfloor 阅读全文
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后缀数组 SA 定义 我们先定义如下两个数组: \(sa_i\) 代表排名为 \(i\) 的后缀的编号; \(rk_i\) 代表编号为 \(i\) 的后缀的排名。 此处排名指的是将所有后缀按字典序从小到大排序。 那么根据定义,显然可得结论:\(rk_{sa_i} = sa_{rk_i} = i\)。 阅读全文