算法路线

第一阶段：基础入门（搭建知识框架）
核心目标：掌握算法与数据结构的底层逻辑，建立「问题 - 解法」的基础映射思维。

1. 基础数据结构
   线性结构：数组、链表（单向 / 双向 / 循环）、栈、队列（普通 / 循环 / 双端）
   哈希结构：哈希表（哈希函数、冲突解决策略）
   树形结构：二叉树（满二叉树 / 完全二叉树）、二叉搜索树（BST）
   图结构：图（无向图 / 有向图）、邻接矩阵、邻接表
2. 基础算法思想
   暴力思想：枚举（穷举所有可能）、模拟（复现问题流程）
   核心思想：贪心（局部最优推全局最优）、分治（拆分问题 + 合并结果）、递归（自顶向下调用）、回溯（试错 + 回退）
   动态规划入门：初步理解「状态定义」与「子问题拆分」逻辑
3. 基础算法
   排序算法：冒泡排序、选择排序、插入排序、归并排序、快速排序、堆排序
   查找算法：二分查找（普通二分、二分答案）
   图基础算法：深度优先搜索（DFS）、广度优先搜索（BFS）
4. 复杂度分析
   时间复杂度：大 O 符号（最坏情况）、Ω 符号（最优情况）、θ 符号（平均情况）
   空间复杂度：额外空间计算、原地算法（O (1) 空间）
   复杂度场景：最坏情况、平均情况、最优情况的适用场景
   第二阶段：进阶深化（攻克复杂问题）
   核心目标：突破高难度问题，掌握「复杂场景下的算法选型与优化」能力。
5. 高级数据结构
   （1）平衡树与多路树
   平衡树：AVL 树（严格平衡）、红黑树（近似平衡）、Treap 树（树堆）、Splay 树（伸展树）
   多路平衡树：B 树（磁盘存储）、B + 树（数据库索引）、B * 树（B + 树优化）
   （2）字符串专用结构
   前缀匹配：字典树（Trie，高效前缀查询）
   后缀相关：后缀数组（SA）、后缀自动机（SAM）、回文自动机（PAM）
   （3）区间查询与维护
   基础区间结构：线段树（含延迟标记，支持区间更新）、树状数组（Fenwick Tree，高效前缀和）
   进阶区间结构：主席树（持久化线段树，历史版本查询）、RMQ 算法（ST 表，静态区间最值）、块状数组（分块思想实现区间操作）
   （4）其他高频结构
   动态连通性：并查集（路径压缩 + 按秩合并优化）
   优先队列：堆（大根堆 / 小根堆）、优先队列（自定义优先级）
   概率型结构：布隆过滤器（海量数据判重）、Count-Min Sketch（频率估计）、HyperLogLog（基数估计）、布谷鸟哈希（冲突解决）
   特殊结构：笛卡尔树（堆 + 二叉搜索树特性）、线性基（异或问题）、环形缓冲区、Link-Cut Tree（动态树）
6. 核心算法思想进阶
   （1）动态规划（DP）
   基础 DP 模型：0-1 背包、完全背包、最长公共子序列（LCS）、最长递增子序列（LIS）
   进阶 DP 模型：数位 DP（数字统计问题）、插头 DP（网格路径问题）、状态压缩 DP（二进制表示状态）、线性 DP、树状 DP（树上问题）、区间 DP（区间最优解）
   DP 优化技巧：斜率优化、凸壳优化、四边形不等式、记忆化搜索（递归 + 缓存）
   （2）分治与回溯优化
   分治进阶：二分答案（将「求答案」转化为「验证答案」）、归并排序应用（逆序对统计）
   回溯优化：最优性剪枝（提前终止无效分支）、可行性剪枝（排除非法路径）
   （3）其他思想
   离线算法：离线查询处理（如离线 LCA、离线区间问题）
   摊销分析：聚集分析、会计方法、势能方法（分析算法平均复杂度）
7. 专项算法突破
   （1）字符串处理
   单模式串匹配：KMP 算法（前缀函数）、Z 算法（前缀匹配长度）、Manacher 算法（最长回文子串）
   多模式串匹配：Rabin-Karp 算法（哈希匹配）、AC 自动机（多模板匹配）
   字符串工具：字符串哈希（滚动哈希 / 双哈希防碰撞）、正则表达式
   （2）图论
   最短路径：Dijkstra 算法（正权图）、Bellman-Ford 算法（负权检测）、SPFA 算法（Bellman-Ford 优化）、Floyd-Warshall 算法（多源最短路）、Johnson 算法（全源最短路优化）
   最小生成树（MST）：Prim 算法（稠密图）、Kruskal 算法（稀疏图）、次小生成树
   网络流：EK 算法（最大流基础）、Dinic 算法（最大流优化）、HLPP 算法（最高标号预流推进）、上下界网络流、费用流（最小费用最大流）
   连通性：Tarjan 算法（割点 / 割边 / 强连通分量 SCC）、Kosaraju 算法（强连通分量）、双连通分量（点双连通 / 边双连通）
   匹配问题：匈牙利算法（二分图最大匹配）、Hopcroft-Karp 算法（二分图匹配优化）、KM 算法（二分图带权匹配）、Edmonds 算法（一般图匹配）
   其他图问题：拓扑排序（Kahn 算法）、欧拉回路 / 路径（Hierholzer 算法）、哈密顿回路 / 路径、图的着色、LCA（最近公共祖先，倍增 / Tarjan 算法）
   （3）数论与数学
   素数相关：埃拉托斯特尼筛（埃筛）、线性筛（欧拉筛，高效筛素数 + 积性函数）、Miller-Rabin 素性测试（大素数判定）
   因子分解：试除法、Pollard's Rho 算法（大整数分解）
   模运算：快速幂（高效计算 a^b mod m）、模逆元（费马小定理 / 扩展欧几里得）、线性同余方程
   数论函数：欧拉函数（φ，互质计数）、莫比乌斯函数（μ）、莫比乌斯反演
   求和与定理：整除分块（数论分块，加速求和）、容斥原理、中国剩余定理（CRT，同余方程组）、Lucas 定理（大组合数取模）、二次剩余（Tonelli-Shanks 算法）
   线性代数：高斯消元（线性方程组求解）、矩阵快速幂（递推优化）
   组合数学：排列组合生成、Catalan 数（括号匹配 / 二叉树计数）、斐波那契数列（递推 / 矩阵优化）
   （4）计算几何
   基础操作：点 / 向量运算（点积 / 叉积）、线段相交判断、点在多边形内判断、多边形面积（Shoelace 公式）
   进阶问题：凸包（Graham 扫描法 / Andrew 算法）、最近点对（分治求解）、旋转卡壳（凸包极值问题）、半平面交、Voronoi 图、Delaunay 三角剖分、圆的相关计算（圆与圆 / 线位置关系）
   （5）其他高频算法
   位运算：位掩码（状态压缩）、异或运算（交换 / 判重）
   滑动窗口与双指针：滑动窗口（区间最值 / 和）、双指针（同向 / 反向，优化枚举）
   单调结构：单调栈（Next Greater Element 问题）、单调队列（滑动窗口最值）
   分块思想：莫队算法（离线区间查询优化）
   随机化算法：模拟退火（极值问题）、蒙特卡洛算法（概率性正确）、拉斯维加斯算法（确定性正确）
8. 博弈论基础
   基础博弈：巴什博弈、NIM 游戏、威佐夫博弈、斐波那契博弈
   进阶博弈：SG 函数（Grundy 数，组合游戏胜负判定）、合作博弈
   第三阶段：工程实践与前沿拓展（落地与深化）
   核心目标：将算法与工程场景结合，探索前沿领域的算法应用。
9. 工程化算法
   （1）分布式与并行
   分布式算法：一致性哈希（负载均衡）、Gossip 协议（分布式通信）、Paxos 协议（一致性算法）、Raft 协议（Paxos 简化）
   并行算法：Bitonic Sort（双调排序，并行排序）
   （2）缓存与存储
   缓存策略：LRU 缓存淘汰（最近最少使用）、LFU 缓存淘汰（最不经常使用）、FIFO 缓存
   数据压缩：哈夫曼编码（无损压缩）、LZ77 算法、LZ78 算法、DEFLATE 算法（LZ77 + 哈夫曼）
   （3）流式处理
   流式算法：滑动窗口中位数（动态数据流）、频率矩估计（海量数据流频率）
10. 安全与加密
    对称加密：AES 算法（高级加密标准）
    非对称加密：RSA 算法（大素数加密）、ECC 算法（椭圆曲线加密）
    哈希函数：SHA 系列（SHA-256，消息摘要）
11. 在线算法与交互题
    在线算法：页面置换算法（FIFO/OPT/LRU）、竞争分析（在线算法性能评估）
    交互题技巧：二分交互、自适应交互（根据反馈调整策略）
12. 新兴与拓展方向
    量子算法基础：Grover 算法（量子搜索）、Shor 算法（大数分解）
    构造性问题：构造算法（设计满足条件的解）
    跨领域应用：数据库算法（索引相关）、AI 算法（基础梯度下降）、嵌入式轻量级算法（低资源场景）