二叉搜索树、平衡二叉树、红黑树

一、二叉搜索树特点

　　1.1、简介

　　　　一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者由一个根结点加上两棵左子树和右子树组成，二叉树的特点就是左子树的结点值小，

　　而右子树的结点值比父结点大。可以采取类似于二分查找的思想，正常情况下快速的找到这个结点。

　　1.2、重点操作

　　　　对于树中的每个结点X，它的左子树中所有关键字的值小于X的关键字值，而它的右子树中所有关键字值都大于X的关键字值

　　根据这个特性，对一个二叉树进行中序遍历，如果时单调递增的，则可以说明这个数二叉搜索树重点操作有插入、删除

　　　　1.2.1、插入：

　　　　　　1、从根结点开始，遇键值较大则向左走，与键值较小则向右走，直至尾部，即插入点

　　　　1.2.2、删除：

　　　　　　1、如果存在于叶子结点，直接删除即可

　　　　　　2、删除的结点只有一个子结点，则将子结点连至父结点的即可（可以视为将子结点替换掉删除结点的位置）

　　　　　　3、删除的结点有两个子结点，这时需将右子树的最小值替换掉删除结点即可，最小结点可通过删除结点右子树一直向左走到底获得，

　　二叉树：

　　　　树中每个结点最多有两个子树。不排序。

　　完全二叉树：

　　　　对于深度为K，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一 一对应时称之为完全二叉树。

　　满二叉树： 

　　　　除最后一层无任何子结点外，每一层上的所有结点都有两个子结点的二叉树。

　　　　一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数为2^k-1，则它

　　是满二叉树。

二、平衡二叉搜索树

　　2.1、简介

　　　　平衡二叉树，又称AVL树指的是左子树上的所有结点的值都比根结点的值小，而右子树上的所有结点的值都比根结点的值大，且任意一个结点左

　　子树与右子树的高度差最大为1。

　　2.2、重点操作

　　　　发生的情况：当对二叉树进行插入或者删除的时候，有可能造成二叉搜索树失去平衡，造成搜寻效率低落的情况。

　　　　2.2.1、插入：

　　　　　　当向二叉搜索树插入一个结点分为ie四种情况

　　　　　　1、插入结点位于X的左子结点的左子树--左左

　　　　　　2、插入结点位于X的左子结点的右子树--左右

　　　　　　3、插入结点位于X的右子结点的左子树--右左

　　　　　　4、插入结点位于X的右子结点的右子树--右右

　　　　　　情况1、4彼此对称，称为外侧插入，采用单旋转操作即可调整

　　　　　　情况2、3彼此对成，称为内侧插入，可以采用双旋转（执行两次单旋转）操作调整。双旋转如下：

　　　　　　插入结点的祖父节点旋转一次，新的祖父节点的父节点再旋转一次。

 　　　　

　　　　2.2.2 删除 

　　　　　　1、被删除结点没有儿子，即为叶结点。

　　　　　　　　1、将该结点直接从树中删除；

　　　　　　　　2、其父结点的子树高度的变化将导致父结点平衡因子的变化，通过向上检索并推算其父结点是否失衡；

　　　　　　　　3、如果其父结点未失衡，则继续向上检索推算其父结点的父结点是否失衡…如此反复②的判断，直到根结点；如果向上推算过程中发

　　　　　　　　现了失衡的现象，则进行④的处理；

　　　　　　　　4、如果其父结点失衡，则判断是哪种失衡类型[LL、LR、RR、RL]，并对其进行相应的平衡化处理。如果平衡化处理结束后，发现与

　　　　　　　　原来以父结点为根结点的树的高度发生变化，则继续进行②的检索推算；如果与原来以父结点为根结点的高度一致时，则可说明父结点

　　　　　　　　的父结点及祖先结点的平衡因子将不会有变化，因此可以退出处理。

　　　　　　　　　　　　　　

 

 

 　　　　　　　　我们将上图中节点8删除，得到下图：

　　　　　　　　　　　　　　

 

 

 　　　　　　在左子树上删除节点其实就相当于在右子树上插入节点。但要如何调整还取决于该失衡节点的右孩子的左右子树的高度差。我们找到节点

　　　　20的父节点的右子树上30，发现节点30的左右子树高度一样，因此我们只需进行RR型调整，也就是左旋一次，根据父节点的另一个子节点30进

　　　　行逆时针旋转。调整后的树如下：

　　　　　　

 

 

 

　　　　　　2、被删除结点只有一个儿子。

　　　　　　　　1、那么，直接删除该结点，并用该结点的唯一子结点顶替它的位置。

　　　　　　　　2、以删除结点的父结点为推算点，依此向上检索推算各结点（父、祖先）是否失衡；

　　　　　　　　3、如果其父结点未失衡，则继续向上检索推算其父结点的父结点是否失衡，如果有失衡则进行步骤4

　　　　　　　　4、判断是哪种失衡类型[LL、LR、RR、RL]，并对其进行相应的平衡化处理。如果平衡化处理结束后，发现与原来以父结点为根结点

　　　　　　　　的树的高度发生变化，则继续进行②的检索推算；如果与原来以父结点为根结点的高度一致时，则可说明父结点的父结点及祖先结点的

　　　　　　　　平衡因子将不会有变化，因此可以退出处理。

　　　　　　　　这可以用上面的例子，只是删除的节点变成了20。

　　　　　　3、 被删除结点有两个儿子。　

　　　　　　　　1、① 如果该结点的平衡因子为0或者1，则找到其左子树中具有最大值的结点max（我们只讨论有序平衡二叉树，并且有序平衡二叉树

　　　　　　　　中任意一个结点的左子树上的所有结点的值小于该结点的值，右子树上所有结点的值大于该结点的值），将max的内容与x的内容交换

　　　　　　　　（只替换保存的真正的数据，不替换指针，平衡因子等用于管理目的的信息），并且max即为新的要删除的结点。由于树是有序的，因

　　　　　　　　而这样找到的结点要么是一个叶子结点，要么是一个没有右子树的结点。

　　　　　　　　2、如果该结点的平衡因子为-1，则找到其右结点中具有最小值的结点min，将min的内容与x的内容交换，并且min即为新的要删除的节

　　　　　　　　点。由于树是有序的，因而这样找到的结点要么是一个叶子结点，要么是一个没有左子树的结点

　　　　　　　　通过上面的操作后，我们需要对值替换后的结点进行删除，根据树的性质，我们可以得到我们要输出的结点只有两种情况，叶子结点或

　　　　　　者是只有一棵子树的结点。删除后的调整操作按照我们前面已经讲的两种方法去调整。

 　　2.3、输入一棵二叉树的根结点，求树的深度。从根结点到叶结点依次经过的结点（含根、叶结点）形成树的一条路径，最长路径的长度为树深度。

　　　　

1、利用递归的思想，对于每个节点，判断它的左子树深度为多少，判断它的右子树深度为多少
2、将左子树深度与右子树深度中最大的深度+1，即为该节点的深度
/*
实现：求二叉树深度的函数TreeDepth
*/
int TreeDepth(TreeNode* pRoot)
    {
        if(pRoot==NULL){
            return 0;
        }
        int leftLen = TreeDepth(pRoot->left);
        int rightLen= TreeDepth(pRoot->right);
        return leftLen>rightLen ? (leftLen+1) : (rightLen+1);
    }

 

判断是否是平衡二叉树
/*
实现：判断是否是平衡二叉树
*/
//简单版，但是存在不足，就是会遍历很多重复的节点
bool IsBalanced(BinaryTreeNode* pRoot){
    if (pRoot == NULL){
        return true;
    }
    int leftLen = TreeDepth(pRoot->left);
    int rightLen = TreeDepth(pRoot->right);
    int diff = leftLen - rightLen;
    if (diff > 1 || diff < -1){
        return false;
    }
    return IsBalanced(pRoot->left) && IsBalanced(pRoot->right);
}

//利用后序遍历，这样对每个节点只需要遍历一次
bool IsBalanced(BinaryTreeNode* pRoot,int* depth){
    if (pRoot == NULL){
        *depth = 0;
        return true;
    }
    if (IsBalanced(pRoot->left, &leftLen) && IsBalanced(pRoot->right, &rightLen)){
        int diff = leftLen - rightLen;
        if (diff <= 1 || diff >= -1){
            *depth = leftLen > rightLen ? leftLen + 1 : rightLen + 1;
            return true;
        }
    }
    return false;
}

 

三、红黑树

　　3.1、简介

　　　　红黑树是一种自平衡二叉查找树，红黑树放弃追求完全平衡，追求大致平衡，与平衡二叉树的时间复杂度相差不大的情况下，保证每次插入最多

　　只需要三次选择就能达到平衡，实现起来也更为简单。平衡二叉树追求完全平衡，条件比较苛刻，实现起来比较麻烦，每次插入新节点之后需要旋转

　　的次数不能预知。

　　　　红黑树不仅是一个二叉搜索树，还必须满足以下规则：

　　　　　　1、每个结点不是红色就是黑色

　　　　　　2、根结点一定为黑色

　　　　　　3、每个叶子结点都是黑色的空结点（NIL结点）。//这里叶子结点，是指为空的叶子结点！

　　　　　　4、如果结点为红色，则子结点必须为黑色　　　　//红之子、之父比黑　　插入、删除会影响这个规则

　　　　　　5、任一结点至NULL（树尾端）的任何路径，所含之黑结点树必须相同。//外部结点到根：途中经过黑结点数目相同

 　　　　　　红黑树是主要通过性质五来约束树的高度，提高树的平衡性。因为从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点，所以新插入

　　　　的结点需要是红结点来保证黑结点数目相等。又通过性质四来维护树的平衡性。

　　

　　3.2、插入情况及解决方案：

　　　　插入步骤：

　　　　第一步: 将红黑树当作一颗二叉查找树，将结点插入。

　　　　第二步：将插入的结点着色为"红色"，插入为红色，不会违背，不会违背"特性(5)"！少违背一条特性。

　　　　第三步: 通过一系列的旋转或着色等操作，使之重新成为一颗红黑树。

　　　　核心思想：将红色的结点移到根结点；然后，将根结点设为黑色，先解决新插入结点引发的颜色问题，再解决到叶子结点经过黑结点数量问题。

　　　　1、空树

　　　　　方案：检测是否是根结点，如果是，将颜色改为黑

　　　　2、父亲结点p是黑色

　　　　　　方案：不会破坏红黑树的性质，不需要改变

　　　　3、父结点P红色，祖父结点G黑色，叔结点U红色

　　　　　　方案：祖父结点必然是黑色，已经不满足红黑树的性质了。

　　　　　　将当前结点的父结点和叔叔结点涂黑，祖父结点涂红，把当前结点指向祖父结点（递归平衡，进入新的情况）

　　　　　　1、父亲涂黑：解决孩子是红的问题，产生包含‘父结点’的分支的黑色结点的总数增加了1的问题，

　　　　　　2、祖父涂红：为了解决上述问题，所以将祖父涂红。但产生了新的问题：“包含‘叔叔结点’的分支的黑色结点的总数较少1”。

　　　　　　3、叔叔涂黑：能解决““包含‘叔叔结点’的分支的黑色结点的总数减少1的问题， 同时着 “包含‘祖父结点’的分支的黑色结点的总数增加了1。

　　　　4、父结点P红色，祖父结点为黑色，叔结点为黑色，且当前结点是其父结点的右孩子

　　　　　　方案：以新当前结点的父结点左旋，当前结点的父结点做为新的当前结点（递归平衡，进入新的情况）

　　　　　　1、左旋：要不断的将破坏红黑树特性的红色结点上移(即向根方向移动)，若旋转后的结点变成了根结点，那么直接将其设为“黑色”，就完全

　　　　　　解决问题了

　　　　　　2、父结点做为新的当前结点：如选择后该结点不是根结点，则将父结点做为新的当前结点，因为他已经从父结点变为了子结点，从而破坏

　　　　　　红黑树的性质。处理问题的时候，需要从下至上(由叶到根)方向进行处理。

　　　　5、父结点P红色，祖父结点为黑色，叔结点为黑色，且当前结点是其父结点的左孩子

　　　　　　方案：父结点变为黑色，祖父结点变为红色，在祖父结点为支点右旋。

　　　　　　1、父结点变黑：解决孩子是红的问题，产生包含‘父结点’的分支的黑色结点的总数增加了1的问题。

　　　　　　2、祖父结点变为红色并旋转：解决包含‘父结点’的分支的黑色结点的总数增加了1的问题。

　　3.3、删除情况及解决方案

　　　　

　　　　在删除节点后，原红黑树的性质可能被改变，如果删除的是红色节点，那么原红黑树的性质依旧保持，此时不用做修正操作，如果删除的节点是

　　黑色节点，原红黑树的性质可能会被改变，我们要对其做修正操作。那么哪些树的性质会发生变化呢，如果删除节点不是树唯一节点，那么删除节点

　　的那一个支的到各叶节点的黑色节点数会发生变化，此时性质5被破坏。如果被删节点的唯一非空子节点是红色，而被删节点的父节点也是红色，那

　　么性质4被破坏。如果被删节点是根节点，而它的唯一非空子节点是红色，则删除后新根节点将变成红色，违背性质2。”

 

　　　　第一步：将红黑树当作一颗二叉查找树，将结点删除。

　　　　　　1、被删除结点没有儿子，即为叶结点。那么，直接将该结点删除就OK了。

　　　　　　2、被删除结点只有一个儿子。那么，直接删除该结点，并用该结点的唯一子结点顶替它的位置。

　　　　　　3、 被删除结点有两个儿子。那么，先找出它的后继结点；然后把“它的后继结点的内容”复制给“该结点的内容”；之后，删除“它的后继节

　　　　　　点”。在这里，后继结点相当于替身，在将后继结点的内容复制给"被删除结点"之后，再将后继结点删除。这样就巧妙的将问题转换为"删除

　　　　　　后继结点"的情况了，下面就考虑后继结点。 在"被删除结点"有两个非空子结点的情况下，它的后继结点不可能是双子非空。既然"后继节

　　　　　　点"不可能双子都非空，就意味着"该结点的后继结点"要么没有儿子，要么只有一个儿子。若没有儿子，则按"情况① "进行处理；若只有一个

　　　　　　儿子，则按"情况② "进行处理。

　　　　第二步：通过"旋转和重新着色"等一系列来修正该树，使之重新成为一棵红黑树。

　　　　　　因为"第一步"中删除结点之后，可能会违背红黑树的特性。所以需要通过"旋转和重新着色"来修正该树，使之重新成为一棵红黑树。

 　　　　　　

 

　　　　修复的情况有点复杂：下面我们用一个分析技巧：我们从被删结点后来顶替它的那个结点开始调整，并认为它有额外的一重黑色。这里额外一重

　　黑色是什么意思呢，我们不是把红黑树的结点加上除红与黑的另一种颜色，这里只是一种假设，我们认为我们当前指向它，因此空有额外一种黑色，

　　可以认为它的黑色是从它的父结点被删除后继承给它的，它现在可以容纳两种颜色，如果它原来是红色，那么现在是红+黑，如果原来是黑色，那么

　　它现在的颜色是黑+黑。有了这重额外的黑色，原红黑树性质5就能保持不变。现在只要恢复其它性质就可以了，做法还是尽量向根移动和穷举所有可

　　能性。

 　　如果当前节点是红+红，不会影响性质，直接替换就行。

　　如果是以下情况，恢复比较简单：另为了方便说明将当前结点设为x。

　　　　1、情况说明：当前结点是红+黑色

　　　　　　解法，直接把当前结点染成黑色，结束此时红黑树性质全部恢复。

　　　　2、情况说明：当前结点是黑+黑且是根结点

　　　　　　 解法：什么都不做，结束。

　　　　3、情况说明：当前结点是“黑+黑”结点，且不是根。那么有一条路径将会少了一个黑节点。

　　　　　　1、删除修复情况1：当前结点x是黑+黑且兄弟结点为红色(此时父结点和兄弟结点的子结点分为黑)，即处理是否需要将右节点变为黑色。

　　　　　　　　(01) 将x的兄弟结点设为“黑色”。
　　　　　　　　(02) 将x的父结点设为“红色”。
　　　　　　　　(03) 对x的父结点进行左旋。
　　　　　　　　(04) 左旋后，重新设置x为兄弟结点。

　　　　　　变化前：

　　　　　　

 

　　　　　　变化后：

　　　　　　

 

 

 

 

　　　　　　2、删除修复情况2：当前结点是黑加黑且兄弟是黑色且兄弟结点的两个子结点全为黑色

　　　　　　　　(01) 将x的兄弟结点设为“红色”。
　　　　　　　　(02) 设置“x的父结点”为“新的x结点”，重新进入算法。

　　　　　　　　变化前：

　　　　　　　　

 

 

 

　　　　　　　　变化后：

　　　　　　　　

 

 

 

 

　　　　　　3、删除修复情况3：当前结点颜色是黑+黑，兄弟结点是黑色，兄弟的左子是红色，右子是黑色

　　　　　　　　(01) 将x兄弟结点的左孩子设为“黑色”。
　　　　　　　　(02) 将x兄弟结点设为“红色”。
　　　　　　　　(03) 对x的兄弟结点进行右旋。
　　　　　　　　(04) 右旋后，重新设置x的兄弟结点，之后重新进入算法，即将当前情况转化为情况4

　　　　　　　　变化前：

　　　　　　

 

　　　　　　　　变化后：

 

 　　　　　　

 

 

 

 

　　　　　　4、删除修复情况4：当前结点颜色是黑-黑色，它的兄弟结点是黑色，但是兄弟结点的右子是红色，兄弟结点左子的颜色为任意色。

　　　　　　　　(01) 将x父结点颜色 赋值给 x的兄弟结点。
　　　　　　　　(02) 将x父结点设为“黑色”。
　　　　　　　　(03) 将x兄弟结点的右子节设为“黑色”。
　　　　　　　　(04) 对x的父结点进行左旋。
　　　　　　　　(05) 设置“x”为“根结点”。　　　　　　　　

　　　　　　　　变化前：

　　　　　　　　

 

　　　　　　　　变化后：

 

　　　　　　 

 　　

红黑树参考连接：https://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6105630

 

 

 

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