tarjan学习

P2812 校园网络

摘抄优秀性质：

当我们已经完成 TARJAN强连通分量缩点 之后，下一步任务是对DAG图 添加边 减少强连通分量数量使得 仅存一个强连通分量。

我们可以知道以下原理：

原理一 ：每添加一条边，就会使该边出发的点增加一个出度，该边到达的点增加一个入度。

原理二 ：对于一个包含多个点的强连通分量，它每一个点在缩点之前出度和入度一定都不为0。即对于一张有向图，如果每一个点的出度和入度都不为0，那么这张有向图必定可以进行 强连通分量缩点 或者存在 自环 。

根据原理一、二，我们可以做出以下简单推论：

推论一 ：对于任意一张包含多个点的DAG图（ 缩点 后的任意有向图。），若要向其中添加一些边使得仅存一个强连通分量，添加边的数目不小于 入度为0的点 和 出度为0的点 的数目的较大值。

如果我们足够聪明，且条件足够合理，则有可能找到一种策略让我们 仅添加最少的边 就让整张图形成一个强连通分量。根据推论一和我们足够聪明的，且条件足够合理的前提，我们做出以下猜想：

猜想一 ：对于任意一张包含多个点的DAG图（ 缩点 后的任意有向图。），若要向其中添加一些边使得仅存一个强连通分量，添加边的数目的最小值是 入度为0的点 和出 度为0的点 的数目的较大值。

证明

尽管这个猜想看起来很合理，仍需证明。现在给出 小咕儿 的策略来对其进行证明。

我们可以知道以下原理：

原理三 ：任何包含多个点的DAG图都是由 可以单向联通的DAG图 （下文称 简单DAG图 ）构成的。

原理四 ：对于任何包含多个点的 简单DAG图 ，都存在至少一个 入度为0的点 ，可以到达所有 出度为0的点 。称这个点为 总入点 。

原理五 ：对于任何包含多个点的 简单DAG图 ，都存在至少一个 出度为0的点 ，所有 入度为0的点 可以到达。称这个点为 总出点 。

原理六 ：对于任何包含多个点的 简单DAG图 ，建立有向边<总出点,总入点>， 入度为0的点 数量大于1时总是不会缩点后形成一个 入度为0 的点；出度为0的点 数量大于1时总是不会缩点后形成一个 出度为0 的点。

原理七 ：对于任何多个包含多个点的 简单DAG图 都可以采取选择不同分图的一个入度和出度连接形成一个 简单DAG图 。

根据原理三，我们可以知道DAG图问题实际上是由简单DAG图问题组成的。

根据原理四、五、六，我们采取以下策略对简单DAG图进行操作。当出度为0的点或入度为0的点数量大于1时，每次连接一对总入点和总出点，建立有向边<总出点,总入点>。这样的操作最多进行( 入度为0的点 和 出度为0的点 的数量的较小值-1)次。

下一次进行这样的操作后，我们会发现会出现以下三种情况：

情况一 ：原图 入度为0的点 和 出度为0的点 的个数相等。此时入度为0的点的数量和出度为0的点数量都为1。这是由缩点产生的，并不是原来的点遗留的。整张图缩点仅剩一个点，必然是强连通图，一共添加了 入度为0的点 或 出度为0的点 的个数条边。

情况二 ：原图 入度为0的点 的个数大于 出度为0的点 的个数。此时出度为0的点数量为1。这是由缩点产生的，并不是原来的点遗留的。继续进行这样的操作，直到 入度为0的点 的个数为0为止，整张图缩点仅剩一个点，必然是强连通图，一共添加了 入度为0的点 的个数条边。

情况三 ：原图 出度为0的点 的个数大于 入度为0的点 的个数。此时入度为0的点数量为1。这是由缩点产生的，并不是原来的点遗留的。继续进行这样的操作，直到 出度为0的点 的个数为0为止，整张图缩点仅剩一个点，必然是强连通图，一共添加了 出度为0的点 的个数条边。

因此我们可以得出以下推论：

推论三 ：对于任意一张包含多个点的简单DAG图，若要向其中添加一些边使得仅存一个强连通分量，添加边的数目的最小值是 入度为0的点 和出 度为0的点 的数目的较大值。

然后再根据原理七，我们可以知道通过原理七所述的方式，会减少( 简单DAG图 分图的数量-1)个出度为0的点和入度为0的点，同时使用( 简单DAG图 分图的数量-1)条边。根据简单的数学知识（max(a,b)=max(a+c,b+c)-c），我们可以得出结论：

结论一 ：

猜想一成立。

对于任意一张DAG图（ 缩点 后的任意有向图。），若要向其中添加一些边使得仅存一个强连通分量，添加边的数目的最小值是 入度为0的点 和 出度为0的点 的数目的较大值。

所以这道题prob2的答案就是： 包含多个点时 ：整个DAG图中 入度为0的点 和 出度为0的点 的数目的较大值。 包含一个点时：无需添加任何边，即0。