CF 1823 题解

CF 1823 题解

A A-characteristic

考虑设有 \(x\) 个 \(1\), \(n - x\) 个 \(-1\), 那么 \(k = \frac{x(x-1)}{2} + \frac{(n-x)(n-x-1)}{2}\), 公式法解二次方程即可.

B Sort with Step

原题约数意味着只能在下标 \(\bmod \ k\) 的等价类下标内排序, 这意味着一个位置满足 \(a_i\not\equiv i \mod k\) 时需要提前交换, 这样的位置不存在则直接合法, 恰好为 \(2\) 则需要一次提前交换.

C Strongly Composite

发现如果 \(d \ | \ x\), 并且 \(x,d\) 都合法, 那么选 \(x\) 不如选 \(d\).

我们注意到, \(p_1^2,p_1p_2p_3\) 这样的都合法, 因此质因数分解 \(n=\prod_{i=1}^kp_i^{cnt_i}\), 则 \(ans=\sum_{i=1}^k\lfloor\frac{cnt_i}{2}\rfloor + \lfloor\frac{\sum_{i=1}^k(cnt_i \bmod 2)}{3.}\rfloor\)

D Unique Palindromes

注意到以每一个位置为结尾的新回文串不会超过 \(1\) 个, 这样就可以判断是否有解.

首先, \(p_1\rightarrow 1,p_2\rightarrow 2,p_3\rightarrow 3\) 是一定的, 枚举可证. 这样的话, 我们前三个字固定构造 abc.

剩下的部分, 我们构造 xxxxabcabcabyyyyyycabcabczzzaqqqbc 这样的东西即可, 其中每一个 x,y,z 都有 \(1\) 的贡献, 去掉这些之后整个串拼起来形如 abcabcabcabc...

由于约束不太多, 因此每个约束拥有的 x 足够在 \(26\) 个字母内各不相同.

E Removing Graph

打 sg 表, 即得大小为 \(i\) 的环 \(sg_i=\begin{cases}\lfloor\frac{i}{l}\rfloor & i< l+r \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}\), dfs 搜索计算异或和即可.

F Random Walk

随机游走直接考虑高消, 设 \(f_i\) 表示经过 \(i\) 期望次数, 那么有:

\[f_u= \begin{cases} 1+\sum_{(u,v)\in E \wedge v \not=t}\frac{f_v}{d_v} & u=s \\ 1 & u=t\\ \sum_{(u,v)\in E \wedge v \not=t}\frac{f_v}{d_v}& \text{otherwise}. \end{cases} \]

求解写树上高消模板即可.