图论与线性代数

图论与线性代数

LGV 引理

LGV引理用于统计图上不相交路径组数量.

形式化的,现有图\(G=(V,E)\),点集\(A,B\in V\)且有\(\#\{A\}=\#\{B\}=n\).有一个\(1,2,\dotsi,n\)的排列\(p\),定义一个路径组\(S=\{P|P:v_i\to v_{p_i},i\in\{1,2,\dotsi,n\}\}\)对应的排列为\(p\),记为\(P(S)=p\).定义若路径组\(T\)中路径两两不交,则\(T\)为不交路径组.

我们认为一条边\(e\)有边权\(w_e\),一个路径\(P\)的权值\(w(P)=\prod_{e\in P}w_e\),一个路径组\(S\)的权值\(w(S)=\prod_{P\in S}w(P)\).

特殊的,若所有边权为1,则不难发现所有路径,路径组权值均为1,此时所有路径组的权值和就等于他们的数量.我们可以利用这一点对路径组计数.

定理内容:
有矩阵\(M\),满足\(M_{i,j}=\sum_{p:A_i\to B_j}w(p)\),则\(\det(M)=\sum_{T:A\to B}(-1)^{\tau(P(T))}w(T)\).

定理证明:
不难发现,根据矩阵行列式定义,我们枚举一个排列\(p\),\(p\)也可以代表一个路径组的排列.则有:

\[\begin{align} \det(M)=\sum_{S:A\to B}(-1)^{\tau(P(S))}w(S)\notag \\ \end{align} \]

而我们令其中一个含相交路径的路径组为\(S_0\),
相交路径为

\[A_i\to u \to A_{p_i} \\ A_j\to u \to A_{p_j} \]

我们交换\(p_i,p_j\),并重构这两条路径为

\[A_i\to u \to A_{p_j} \\ A_j\to u \to A_{p_i} \]

得到了一个新的路径组\(S'\)不难发现它们含有的边集相同,且对应排列逆序对差1,因此他们在行列式中贡献和为0.因此有相交路径组对行列式没有贡献,定理得证.

生成树计数/矩阵树定理

我们先介绍根向树的定理形式.有有向图\(G=(V,E),\#\{V\}=n\),定义以点\(n\)为根的根向生成树数量为\(t(G)\)(以其他点为根也有同样结论,重标号一下即可.)

定理内容:对\(G\)有出度矩阵\(D_{out}\),邻接矩阵\(A\),定义拉普拉斯矩阵\(L_{out}=D-A\),则有:\(\det(L)=t(G)\).

定理证明:同样的,我们枚举一个\(1,\dotsi,n-1\)的排列\(p\),我们认为这个排列中若\(p_i\neq i\),则\(i\)的出边指向\(p_i\),否则\(i\)的出边可以任意选定,定义不能自由选择出边的点数为\(f(p)\).

\[\det(L)=\sum_p(-1)^{\tau(p)}\prod_{i=1}^{n-1}L_{i,p_i} \]

若一个排列能表示一种导出图,由于\(L\)中\(A\)是负的,那么我们认为这个导出图受到了这个排列\((-1)^{\tau(p)+f(p)}\)的贡献,这样我们就可以从枚举排列计算行列式转化为枚举子图计算行列式.

发现一个图上有\(n\)个点,且\(1,...,n-1\)中每个点都有唯一的出边,这样能组成的图是一个内向基环树森林加上一颗以\(n\)为根的树.

由于排列上每个数只能出现一次,而且不会出现\(n\),因此不在环上的点(包括除\(n\)以外的那棵树上的点)在排列上都只能是自环.而对于一个基环树的环而言,要么在排列上就是一个完整的环,要么在排列上每个点都是自环,那么如果一颗上述子图\(G_0\)含有\(u\)个奇环,\(v\)个偶环.那么他会被\(2^{u+v}\)个排列贡献到,也就是枚举哪些环变成了自环.

我们发现一个排列的逆序对数与偶环数奇偶性相同,\(f(p)\)与奇环数相同,那么这个子图的权值为:

\[\sum_{i=0}^u\sum_{j=0}^v(-1)^u(-1)^v\binom{u}{i}\binom{v}{j}=[u=0][v=0] \]

也就是说,当且仅当这个子图无环,也就是一颗树是有1的贡献,否则无贡献.定理得证.