学习笔记：二项式反演

做 Codeforces Round#998，E 题要用二维二项式反演，于是前来学习了一下。（借鉴 blog : https://www.cnblogs.com/GXZlegend/p/11407185.html）
类似于多步容斥，常用于解决通过“至少若干个”或者说“钦定某若干个” 求 “恰好若干个” 的问题。

形式

形式一

\(f(n) = \sum_{i=0}^{n} \dbinom{n}{i} g(i) \iff g(n) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \dbinom{n}{i} f(i)\)
更通用的式子为 \(f(n) = \sum_{i=m}^{n} \dbinom{n}{i} g(i) \iff g(n) = \sum_{i=m}^{n} (-1)^{n-i} \dbinom{n}{i} f(i)\)

证明

待补

形式二

\(f(n) = \sum_{i=n}^{m} \dbinom{i}{n} g(i) \iff g(n) = \sum_{i=n}^{m} (-1)^{i-n} \dbinom{i}{n} f(i)\)

证明

待补

高维二项式反演

二维二项式反演两种形式

形式一：
\(f(x,y) = \sum_{i=n}^{x} \sum_{j=m}^{y} \dbinom{x}{i} \dbinom{y}{j} g(i,j) \iff g(x,y) = \sum_{i=n}^{x} \sum_{j=m}^{y} (-1) ^ {x+y-i-j} \dbinom{x}{i} \dbinom{y}{j} f(i,j)\)
形式二：
\(f(x,y) = \sum_{i=x}^{n} \sum_{j=y}^{m} \dbinom{i}{x} \dbinom{j}{y} g(i,j) \iff g(x,y) = \sum_{i=x}^{n} \sum_{j=y}^{m} (-1) ^ {i+j-x-y} \dbinom{i}{x} \dbinom{j}{y} f(i,j)\)

应用

待补