线性代数

线性代数

在高铁上听了听线性代数的课，概念有点多，怕忘了。
一些比较显然的就不记了。

行列式

一些基础的东西

N(A):排列 \(A\) 的逆序数。

2阶行列式:\(D = \begin{vmatrix}a & b\\c &d\end{vmatrix} = ad-bc\)

3阶行列式:$D = \begin{vmatrix}a & b & c\d &e & f \ g & j & i\end{vmatrix} = aei+djc+bfg-ceg-bdi-fja $

n阶行列式:$D = \begin{vmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \ \end{vmatrix} = \sum_{j_1,j_2...j_n} -1^{N(j_1,j_2....j_n)} a_{1,j_1} a_{2,j_2}...a_{n,j_n} = \sum_{(i_1,i_2...i_n),(j_1,j_2...j_n)} -1^{N(i_1,i_2...i_n)+N(j_1,j_2....j_n)} a_{i_1,j_1} a_{i_2,j_2}...a_{i_n,j_n} $

下三角行列式:\(D = \begin{vmatrix} a_{1,1} & 0 & 0 & ... & 0\\ a_{2,1} & a_{2,2} & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ...\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & ... & a_{n,n}\end{vmatrix} = \prod_{i = 1}^{i \leq n} a_{i,i}\)

行列式的性质

转置: 对于一个行列式 \(D\) 的 \(\forall i,j\)，交换\(a_{i,j},a_{j,i}\)，转置后称为 \(D^T\)。

ps: 对行成立的性质对列也成立。
性质1:\(D=D^T\)
性质2: 交换两行，变号。
性质3: 两行相同，\(D=0\)。
性质4: 对于 \(D\) 的某一行的数都乘 \(k\)，等于 \(k \times D\) 。
性质5: 两行所有数对应成比例，\(D=0\)。
推论: 一行全为 \(0\)，则 \(D=0\) 。
性质6:\(D = \begin{vmatrix}a_{1,1}+k_{1,1} & a_{1,2}+k_{1,2} & \cdots & a_{1,n}+k_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}k_{1,1} & k_{1,2} & \cdots & k_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix}\)
性质7: 将 \(D\) 的某一行乘上 \(k\)，加到另一行上，值不变。

行列式的计算

计算: 根据性质7将行列式消元成上三角矩阵，然后直接乘起来。

余子式: 选择一行一列消去，剩下的拼在一起所形成的行列式成称为选择一行一列的交点的余子式，用 \(M_{i,j}\) 表示。
eg:

\[D = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{vmatrix} M_{2,2} = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3}\\ a_{3,1} & a_{3,3}\\ \end{vmatrix} \]

代数余子式: \(A_{i,j} = -1^{i+j} M_{i,j}\)

计算-按行展开: 选定任意一行 \(i\)，\(D = \sum_{j = 1}^{j \leq n} a_{i,j}A_{i,j}\)

定理(异乘变零): 选定一行 \(i_1\)，对于另一行 \(i_2\) 满足 \(\sum_{j=1}^{j \leq n} a_{i_1,j}A_{i_2,j} = 0\)

k阶子式: 选 \(k\) 行，\(k\) 列，交点拼一起所形成的行列式。

拉普拉斯展开定理: 取定 \(k\) 行。由这 \(k\) 所形成的所有 \(k\) 阶子式与其代数余子式乘积之和 \(=D\) 。

行列式相乘: \(A \times B = C,c_{i,j} = \sum_{k=1}^{k \leq n} a_{i,k}b_{k,j}\)

加边法则: 不能改变行列式的值。

范德蒙德行列式: \(D = \begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^2 & x_{2}^2 & \cdots & x_{n}^2\\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ x_{1}^n & x_{2}^n & \cdots & x_{n}^n \\ \end{vmatrix} = \prod_{j < i}x_i-x_j\)

反对称行列式: 主对角线都为 \(0\)，\(\forall a_{i,j} = -a_{j,i}\)。
结论: 奇数阶反对成行列式值为 \(0\) 。
对称行列式: 主对角线元素无要求，\(\forall a_{i,j} = a_{j,i}\)。

Cramer法则

方程组:\(\begin{cases} \begin{aligned} k_{1,1}x_1 + k_{1,2}x_2 + \cdots + k_{1,n}x_n &= c_1\\ k_{2,1}x_1 + k_{2,2}x_2 + \cdots + k_{2,n}x_n &= c_2\\...........................................\\ k_{n,1}x_1 + k_{n,2}x_2 + \cdots + k_{n,n}x_n &= c_n\\ \end{aligned} \end{cases}\)

系数行列式:\(D = \begin{vmatrix}k_{1,1} & k_{1,2} & \cdots & k_{1,n} \\ k_{21} & k_{2,2} & \cdots & k_{2,n} \\ \vdots & \vdots &\ddots & \vdots\\ k_{n,1} & k_{n,2} & \cdots & k_{n,n} \\ \end{vmatrix}\)

\(D_j:\) 将系数行列式的第 \(j\) 列用 \(c\) 代替。

Cramer法则的应用条件:
1.未知数个数=方程个数
2.系数行列式 \(D \not ={0}\)

Cramer法则的结论: \(x_j = \frac{D_j}{D}\)

齐次线性方程组:\(\begin{cases} \begin{aligned} k_{1,1}x_1 + k_{1,2}x_2 + \cdots + k_{1,n}x_n &= 0\\ k_{2,1}x_1 + k_{2,2}x_2 + \cdots + k_{2,n}x_n &= 0\\...........................................\\ k_{n,1}x_1 + k_{n,2}x_2 + \cdots + k_{n,n}x_n &= 0\\ \end{aligned} \end{cases}\)
齐次线性方程的性质: 至少有零解，有非零解的充要条件为 \(D=0\) 。

矩阵

一些基础知识

矩阵: 由 \(n \times m\) 个数组成的数表。

\(A_{n \times m}\): 表示 \(n \times m\)大小的矩阵。

负矩阵: 与另一个矩阵的所有数对应成相反数。

方阵: 行数和列数相等的矩阵。

单位阵: 主对角线全是 \(1\)，其它全是 \(0\) 的方阵，称为 \(E\) 。

计算

加法: 同型矩阵对应位置元素相加。

数乘: 将矩阵中所有元素都承上 \(k\) 。

矩阵乘法: $A_{a,b} \times B_{b,c} = C_{a,c} $，方式同行列式。

性质

与 0 相乘: \(A\times 0 = 0\)

与 \(E\) 相乘: \(A \times E = A\)

结合律: \((AB)C = A(BC)\)

幂相关: \((A+B)^2 \not ={A^2+2AB+B^2},(A+E)^2 = A^2+2AE+E^2\)

转置: 方式同行列式。

转置的性质1: \((A^T)^T = A\)
转置的性质2: \((A+B)^T = A^T+B^T\)
转置的性质3: \((kA)^T = kA^T\)
转置的性质4:\((AB)^T = B^TA^T\)

特殊矩阵

数量矩阵: 主对角线元素全相等，其它元素都为 \(0\) 的矩阵。

对角矩阵: 只有主对角线有值的矩阵。

diag(A): 对角线元素为 \(A\) 的对角矩阵。

三角矩阵: 类似行列式。

对称矩阵: 类似行列式。

对称矩阵的性质: \(A^T=A\)

反对称矩阵: 类似行列式。

逆矩阵

方阵的行列式: 用 \(|A|\) 的方式来表示,\(A\) =$ \begin{pmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \ \end{pmatrix}\(，\)|A| = \begin{vmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \ \end{vmatrix}$。

方阵的行列式性质1: \(|A^T| = A\)
方阵的行列式性质2: \(|kA| = k^n|A|\)
方阵的行列式性质3: \(|AB| = |A||B|\)

伴随矩阵: $A^* = \begin{pmatrix}A_{1,1} & A_{2,1} & \cdots & A_{n,1} \
A_{1,2} & A_{2,2} & \cdots & A_{n,2} \
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots\
A_{1,n} & A_{2,n} & \cdots & A_{n,n} \ \end{pmatrix} $

定理: \(AA^* = A^*A= |A|E\),\(|A^*|=|A|^{n-1}\)

逆矩阵: 对于方阵 \(A\) 满足 \(AB = BA = E\)，则称 \(B\) 为 \(A\) 的逆矩阵，且 \(B\) 唯一，可以用 \(A^{-1}\) 表示。

逆矩阵存在的充要条件: \(|A| \not ={0}\)

定理: \(A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*\)

推论1: \(|A^{-1}| = |A|^{-1}\)
推论2: \(A\) 可逆，\(A^*\) 也可逆，\((A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|}A\)
推论3: \((A^*)^* = |A|^{n-2}A\)

初等变换

初等变换的本质: 对矩阵变化。

操作:
ps:行列都可。
1.交换两行。
2.某行的所有数乘上 \(k(k \not=0)\)。
3.将某行的数乘上 \(k\) 加到另一行上去。

矩阵的标准形: 矩阵从左上角斜着不断的一串 \(1\)，其余元素为 \(0\) 。

定理: 任何一个矩阵都可以通过线性变换化作标准形。

等价: \(A\) 经过初等变化变为 \(B\)，记作 \(A \cong B\)

自反性: \(A \cong A\)
对称性: $A \cong B -> B\cong A $
传递性: \(A \cong B，B \cong C -> A \cong C\)

初等矩阵: 对 \(E\) 做一次初等变换的矩阵。

\(E(i,j)\): 交换 \(i\) 行和 \(j\) 行。

\(E(i(k))\): 第 \(i\) 行乘 \(k(k\not=0)\)

\(E(i,j(k))\): 第 \(j\) 行乘上 \(k\)，加到第 \(i\) 行上。

\(|E(i,j)| = -1\)，\(E(i(k)) = k\)，\(E(i,j(k)) = 1\)

性质: \(|E^{-1}(i,j)|\) = \(E(i,j)\)，\(E^{-1}(i(k))\) = \(E(i(\frac{1}{k}))\)，\(E^{-1}(i,j(k))\) = \(E(i,j(-k))\)

性质: \(E(i,j)\) 在矩阵乘法中左乘相当于行操作，右乘相当于列操作。

初等变换法求逆矩阵

定理: \(A\) 可逆的必须为一些初等矩阵的乘积。
定理: \(A\) 可逆的充要条件是其标准形是 \(E\) 。
推论: \(q_1q_2...q_nA=E\)
推推论: \(q_1q_2...q_nE=A^{-1}\)
初等行变换法求逆矩阵: 只通过初等行变换将 \(A\) 转化为 \(E\)，\(E\) 做同样的操作，当 \(A\) 变为 \(E\) 时，\(E\) 就是 \(A^{-1}\)

矩阵的秩

*定义: 非零子式的最高阶数。

\(r(A)\): 矩阵 \(A\) 的秩。

行满秩: \(r(A_{n\times m}) = n\)
列满秩: \(r(A_{n\times m}) = m\)

阶梯型: 矩阵每行第一个非零元素前面 \(0\) 的个数逐行递增，全零行在非零行下面。

行简化阶梯型: 每一行的首非零元是 \(1\)，这一列除了本身外都为 \(0\) 。

定理: 首非零元有几个，秩就是几。

定理: 初等行(列)变换不改变矩阵的秩。