算法第三章上机实践报告

算法第三章上机实践报告

1. 题目:单调递增最长子序列
1.1 问题描述

设计一个O(n^2)时间的算法,找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列。

输入格式:

输入有两行: 第一行:n,代表要输入的数列的个数 第二行:n个数,数字之间用空格格开

输出格式:

最长单调递增子序列的长度

输入样例:

在这里给出一组输入。例如:

5
1 3 5 2 9
结尾无空行

输出样例:
在这里给出相应的输出。例如:

4
结尾无空行
1.2 算法描述

动态规划法

设辅助数组b,b[i]表示以a[i]为结尾的最长递增子序列的长度。最长递增子序列的长度,就是数组b的最大值。

int dp() {
	int max = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		b[i]=1; // 长度大于0的最短的子序列为1; 
		for (int j = 0; j < i; j++) { 
		    if (a[j] < a[i] && b[i] < b[j] + 1) // 递推 
				b[i] = b[j]+1;	
		}
		if(max < b[i]) max = b[i];
	}
	return max;
}
1.3 问题求解:

1.3.1 根据最优子结构性质,列出递归方程式

b[i] = max{1, b[j] + 1}   0 <= j < i && a[j] < a[i]

1.3.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序

表的维度为一维,范围为[0,n),顺序为从左到右

0 1 2 3 4
a 1 3 5 2 9
0 1 2 3 4
b 1 2 3 2 4

1.3.3 分析该算法的时间和空间复杂度

这个算法主要用了两重循环,所以时间复杂度为O(n^2)。

算法中用了两个n长度的数组,分别用来存放元素和以第i个元素为结尾最长递增子序列长度的值,所以空间复杂度为O(n)。

1.4 心得体会

代码正确并不代表真的懂,明白题目的原理和能清晰地讲解其中的逻辑,才代表真正掌握了这个知识。

2. 你对动态规划算法的理解和体会

动态规划法,就是把大问题化为小问题,找到小问题的解决方案,合成大问题的解决方案,记录小问题的最优解决方案,以便于回溯寻找,降低时间复杂度。

动态规划法的难点就在于找到递归方程及边界条件。动态规划定义虽然简单,用起来却是另一回事。即使知道要用动态规划,却不一定能真正根据题目应用好。

posted @ 2021-10-23 15:59  星辰若凡  阅读(78)  评论(0编辑  收藏  举报