算法第三章上机实践报告

算法第三章上机实践报告

1. 题目：单调递增最长子序列

1.1 问题描述

设计一个O(n^2)时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列。

输入格式:

输入有两行： 第一行：n，代表要输入的数列的个数 第二行：n个数，数字之间用空格格开

输出格式:

最长单调递增子序列的长度

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

5
1 3 5 2 9
结尾无空行

输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：

4
结尾无空行

1.2 算法描述

动态规划法

设辅助数组b，b[i]表示以a[i]为结尾的最长递增子序列的长度。最长递增子序列的长度，就是数组b的最大值。

int dp() {
	int max = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		b[i]=1; // 长度大于0的最短的子序列为1; 
		for (int j = 0; j < i; j++) { 
		    if (a[j] < a[i] && b[i] < b[j] + 1) // 递推 
				b[i] = b[j]+1;	
		}
		if(max < b[i]) max = b[i];
	}
	return max;
}

1.3 问题求解：

1.3.1 根据最优子结构性质，列出递归方程式

b[i] = max{1, b[j] + 1}   0 <= j < i && a[j] < a[i]

1.3.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序

表的维度为一维，范围为[0,n)，顺序为从左到右

	0	1	2	3	4
a	1	3	5	2	9

	0	1	2	3	4
b	1	2	3	2	4

1.3.3 分析该算法的时间和空间复杂度

这个算法主要用了两重循环，所以时间复杂度为O(n^2)。

算法中用了两个n长度的数组，分别用来存放元素和以第i个元素为结尾最长递增子序列长度的值，所以空间复杂度为O(n)。

1.4 心得体会

代码正确并不代表真的懂，明白题目的原理和能清晰地讲解其中的逻辑，才代表真正掌握了这个知识。

2. 你对动态规划算法的理解和体会

动态规划法，就是把大问题化为小问题，找到小问题的解决方案，合成大问题的解决方案，记录小问题的最优解决方案，以便于回溯寻找，降低时间复杂度。

动态规划法的难点就在于找到递归方程及边界条件。动态规划定义虽然简单，用起来却是另一回事。即使知道要用动态规划，却不一定能真正根据题目应用好。