算法第三章上机实践报告
算法第三章上机实践报告
1. 题目:单调递增最长子序列
1.1 问题描述
设计一个O(n^2)时间的算法,找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列。
输入格式:
输入有两行: 第一行:n,代表要输入的数列的个数 第二行:n个数,数字之间用空格格开
输出格式:
最长单调递增子序列的长度
输入样例:
在这里给出一组输入。例如:
5
1 3 5 2 9
结尾无空行
输出样例:
在这里给出相应的输出。例如:
4
结尾无空行
1.2 算法描述
动态规划法
设辅助数组b,b[i]表示以a[i]为结尾的最长递增子序列的长度。最长递增子序列的长度,就是数组b的最大值。
int dp() {
int max = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
b[i]=1; // 长度大于0的最短的子序列为1;
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (a[j] < a[i] && b[i] < b[j] + 1) // 递推
b[i] = b[j]+1;
}
if(max < b[i]) max = b[i];
}
return max;
}
1.3 问题求解:
1.3.1 根据最优子结构性质,列出递归方程式
b[i] = max{1, b[j] + 1} 0 <= j < i && a[j] < a[i]
1.3.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序
表的维度为一维,范围为[0,n),顺序为从左到右
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
---|---|---|---|---|---|
a | 1 | 3 | 5 | 2 | 9 |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
---|---|---|---|---|---|
b | 1 | 2 | 3 | 2 | 4 |
1.3.3 分析该算法的时间和空间复杂度
这个算法主要用了两重循环,所以时间复杂度为O(n^2)。
算法中用了两个n长度的数组,分别用来存放元素和以第i个元素为结尾最长递增子序列长度的值,所以空间复杂度为O(n)。
1.4 心得体会
代码正确并不代表真的懂,明白题目的原理和能清晰地讲解其中的逻辑,才代表真正掌握了这个知识。
2. 你对动态规划算法的理解和体会
动态规划法,就是把大问题化为小问题,找到小问题的解决方案,合成大问题的解决方案,记录小问题的最优解决方案,以便于回溯寻找,降低时间复杂度。
动态规划法的难点就在于找到递归方程及边界条件。动态规划定义虽然简单,用起来却是另一回事。即使知道要用动态规划,却不一定能真正根据题目应用好。