【初赛】最短路 次短路 k短路
最短路、次短路、k短路算法总结与C++代码示例
一、最短路算法
1. Dijkstra算法（单源最短路，非负权图）
- 适用场景：有向/无向图，边权非负，求单源最短路径
- 时间复杂度：O(m log n)（ n 为顶点数，m 为边数，使用优先队列+邻接表）
2. Bellman-Ford 算法（单源最短路，支持负权图）
- 适用场景：有向图，可处理负权边，能检测负环
- 时间复杂度：O (nm)
spfa
struct Edge {
int u, v, w;
};
vector<Edge> edge;
int dis[MAXN], u, v, w;
constexpr int INF = 0x3f3f3f3f;
bool bellmanford(int n, int s) {
memset(dis, 0x3f, (n + 1) * sizeof(int));
dis[s] = 0;
bool flag = false; // 判断一轮循环过程中是否发生松弛操作
for (int i = 1; i <= n; i++) {
flag = false;
for (int j = 0; j < edge.size(); j++) {
u = edge[j].u, v = edge[j].v, w = edge[j].w;
if (dis[u] == INF) continue;
// 无穷大与常数加减仍然为无穷大
// 因此最短路长度为 INF 的点引出的边不可能发生松弛操作
if (dis[v] > dis[u] + w) {
dis[v] = dis[u] + w;
flag = true;
}
}
// 没有可以松弛的边时就停止算法
if (!flag) {
break;
}
}
// 第 n 轮循环仍然可以松弛时说明 s 点可以抵达一个负环
return flag;
}
二、次短路
有两种比较简单实现次短路的思想
-
方法一:用 dijkstra 算法 从起点开始 同时维护【最短路数组(dis1[])】和【次短路 数组(dis2[])】
tips: 其中if(dis2[v]< w) xontinue;这句 为true的时候，说明当前节点v的次短路已经被更新过了 ， 如果w比次短路大，说明它肯定是>=第三短路 ， 也就不用更新了。
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <string> #include <cmath> #include <iostream> #include <algorithm> #include <queue> #include <map> #include <stack> #include <vector> using namespace std; typedef long long LL; const int Maxn = 1e5 + 7; const int Inf = 1e9 + 7; int N , M; int dis1[Maxn] , dis2[Maxn]; struct node{ int v , w; friend bool operator < (node a , node b){ return a.w > b.w; } }; vector <node> G[Maxn]; void Dijkstra(){ priority_queue <node> que; fill(dis1 , dis1+N+1 , Inf); fill(dis2 , dis2+N+1 , Inf); int start = 1; dis1[start] = 0; que.push((node){start , 0}); node q; int v , w; while(!que.empty()){ q = que.top(); que.pop(); v = q.v , w = q.w; if(dis2[v] < w) continue; int to_v , to_w; for(int i = 0 ; i < G[v].size() ; i++){ to_v = G[v][i].v , to_w = G[v][i].w + w; if(dis1[to_v] > to_w){ que.push((node){to_v , to_w}); swap(dis1[to_v] , to_w); } if(dis2[to_v] > to_w && dis1[to_w] < to_w){ dis2[to_v] = to_w; que.push((node){to_v , to_w}); } } } } int main() { while(~scanf(" %d %d",&N,&M)){ for(int i = 1 ; i <= M ; i++){ int u , v , w; scanf(" %d %d %d",&u,&v,&w); G[u].push_back((node){v,w}); G[v].push_back((node){u,w}); } Dijkstra(); printf("%d\n",dis2[N]); } } -
方法二:还是用到dikstra 算法 分别用两个 dis1[]数组 和 dis2[]数组 分别 维护 从起点 和 从终点开始 的 最短路 --然后枚举 所有边 ， 将边的两个端点 连上 起点和终点 看是不是等于最短路，相等则跳过 ， 不相等 则 更新 和 次短路(inf)取min
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <string> #include <cmath> #include <iostream> #include <algorithm> #include <queue> #include <map> #include <stack> #include <vector> using namespace std; typedef long long LL; const int Maxn = 1e5 + 7; const int Inf = 1e9 + 7; int N , M , cnt , ans; int start = 1 , End = N; int dis1[Maxn] , dis2[Maxn]; bool vis[Maxn]; struct node{ int v , w; friend bool operator < (node a , node b){ return a.w > b.w; } }; struct edge{ int x , y , w; }A[Maxn << 1]; vector <node> G[Maxn]; void GetDis(int op){ priority_queue <node> que; if(!op) que.push((node){start , 0}); else que.push((node){End , 0}); int v , w; node q; while(!que.empty()){ q = que.top(); que.pop(); v = q.v , w = q.w; if(vis[v]) continue; vis[v] = true; int to_v , to_w; for(int i = 0 ; i < G[v].size() ; i++){ to_v = G[v][i].v , to_w = G[v][i].w + w; if(!op && dis1[to_v] > to_w){ dis1[to_v] = to_w; que.push((node){to_v , to_w}); } else if(op && dis2[to_v] > to_w){ dis2[to_v] = to_w; que.push((node){to_v , to_w}); } } } } void Dijkstra(){ fill(dis1 , dis1+N+1 , Inf); fill(dis2 , dis2+N+1 , Inf); start = 1 , End = N; dis1[start] = dis2[End] = 0; fill(vis , vis+N+1 , false); GetDis(0); fill(vis , vis+N+1 , false); GetDis(1); } void FindCdl(){ int flag = dis1[End]; int x , y , w; ans = Inf; for(int i = 1 ; i <= cnt ; i++){ x = A[i].x , y = A[i].y , w = A[i].w; int temp = dis1[x] + dis2[y] + w; if(temp == flag) continue; else ans = min(ans , temp); } } int main() { while(~scanf(" %d %d",&N,&M)){ cnt = 0; for(int i = 1 ; i <= M ; i++){ int u , v , w; scanf(" %d %d %d",&u,&v,&w); G[u].push_back((node){v,w}); G[v].push_back((node){u,w}); A[++cnt].x = u , A[cnt].y = v , A[cnt].w = w; A[++cnt].x = v , A[cnt].y = u , A[cnt].w = w; } Dijkstra(); FindCdl(); printf("%d\n",ans); } }
三、第K短路：
第K短路 其实 就是BFS + A（A启发式搜索优化剪枝）
首先求 从 终点 到 每个点的最短路 用 dis[ ] 数组存储
然后使用 A* 函数 ， F[x] = H[x] + G[x]
题目：POJ 2449
具体讲解在代码内
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int Maxn = 1e5 + 7;
const int Inf = 1e9 + 7;
int N , M , K;
int start , End;
int ans;
//最短路部分
int dis[Maxn];
bool vis[Maxn];
struct node{
int v , w;
friend bool operator < (node a , node b){
return a.w > b.w;
}
};
/*
* A* 启发式搜索函数 F[x] = H[x] + G[x]
* 变量 Hx 表示搜索到当前点 所用的代价
* 变量 Gx 是估价函数 （估价函数要小于等于实际值，否则出错）
*/
struct edge{
int v , Hx , Gx;
friend bool operator < (edge a , edge b){
return a.Hx + a.Gx > b.Hx + b.Gx;
}
};
/*
* count 记录第几次BFS拓展到此点
* 当 count == K 时 不再对此点继续进行拓展（因为拓展的点必定大于 第K短路）
*/
int Count[Maxn];
vector <node> G[Maxn] , G2[Maxn];
/*
* （因为是有向图所以反向建图）
* 求End到每个点的最短路
*/
void Dijkstra(){
fill(vis , vis+N+1 , false);
fill(dis , dis+N+1 , Inf);
priority_queue <node> que;
que.push((node){End , 0});
dis[End] = 0;
node q;
int v , w;
while(!que.empty()){
q = que.top(); que.pop();
v = q.v , w = q.w;
if(vis[v]) continue;
vis[v] = true;
int to_v , to_w;
for(int i = 0 ; i < G2[v].size() ; i++){
to_v = G2[v][i].v , to_w = G2[v][i].w + w;
if(dis[to_v] > to_w){
dis[to_v] = to_w;
que.push((node){to_v , to_w});
}
}
}
}
/*
* 第K短路算法 = A* + BFS
*/
void Astar(){
ans = -1;
fill(Count , Count+N+1 , 0);
priority_queue <edge> que;
que.push((edge){start , 0 , 0});
edge q;
int v , Hx , Gx;
while(!que.empty()){
q = que.top(); que.pop();
v = q.v , Hx = q.Hx , Gx = q.Gx;
Count[v]++;
if(Count[v] == K && v == End){
ans = Hx + Gx;
break;
}
if(Count[v] > K) continue;
int to_v , to_hx , to_gx;
for(int i = 0 ; i < G[v].size() ; i++){
to_v = G[v][i].v;
to_hx = Hx + G[v][i].w;
to_gx = dis[to_v];
que.push((edge){to_v , to_hx , to_gx});
}
}
while(!que.empty()) que.pop();
return;
}
int main()
{
while(~scanf(" %d %d",&N,&M)){
for(int i = 1 ; i <= N ; i++) G[i].clear();
for(int i = 1 ; i <= M ; i++){
int u , v , w; scanf(" %d %d %d",&u,&v,&w);
G[u].push_back((node){v, w});
G2[v].push_back((node){u, w});
}
scanf(" %d %d %d",&start , &End , &K);
//此题要求start和End相同的时候 第一短路不是0 ，所以K++
if(start == End) K++;
Dijkstra();
Astar();
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号