【初赛】无向图度数性质

无向图度数性质

一、基础概念：顶点度数定义

在无向图 $ G = (V, E) $ 中：

• 顶点 $ v \in V $ 的度数 $ \deg(v) $ 指关联于该顶点的边的数量
• 特殊情况：
  • 环（$ (v, v) $）对 $ \deg(v) $ 贡献 2
  • 孤立点度数为 0
  • 非环边 $ (u, v) $ 对 $ \deg(u) $ 和 $ \deg(v) $ 各贡献 1

二、核心性质1：握手定理（Handshaking Lemma）

1. 定理公式：
   \( \sum_{v \in V} \deg(v) = 2|E| \)
   \(\color{red}{（所有顶点度数之和 = 边数的2倍）}\)

2. 证明依据：

   • 非环边贡献：每条边为两个顶点各加1，合计2
   • 环贡献：每条环为对应顶点加2，合计2
   • 总贡献：$ 2 \times $ 边数

3. 示例验证：

   • 三角形（3顶点3边）：$ 2+2+2=6=2 \times 3 $
   • 含1环的图（边 $ (v1,v1) $ 和 $ (v1,v2) \(）：\) 3+1=4=2 \times 2 $

三、核心性质2：握手定理推论

1. 结论：\(\color{red}{度数为奇数的顶点个数必为偶数}\)

2. 推导逻辑：

   • 度数总和为偶数（$ 2|E| $）
   • 偶数度顶点之和为偶数
   • 奇数度顶点之和必为偶数（偶数个奇数相加为偶数）

3. 示例：

   • 合法：$ [1,2,3,4,4] $（2个奇数度顶点）
   • 非法：$ [1,2,3,4,5] $（3个奇数度顶点）

四、其他重要性质

1. 简单无向图度数上限：

   • 任意顶点度数 \(\leq n-1\)（\(n\) 为顶点数）
   • 原因：无环且无多重边，最多连接 $ n-1 $ 个其他顶点

2. 正则图性质：

   • $ k $-正则图（所有顶点度数为 \(k\)）满足：\(k\cdot n = 2|E|\)
   • 推论：若 $ k $ 为奇数，则 $ n $ 必为偶数

五、度数序列可图性

1. 必要条件（非充分）：

   • 序列总和为偶数
   • 奇数个数为偶数

2. 示例：

   • 可图：\([2,2,2]\)、\([3,3,1,1]\)
   • 不可图：$ [3,3,3] $（总和为9，奇数）

3. 充分性判断：可使用Havel-Hakimi算法