数论

0730 简单数论函数

1. 常函数 $ 1(n) $

对任意正整数 $ n $，函数值恒为 $ 1 $，即： $ 1(n) = 1 $

它是一个“常值函数”——无论输入的正整数 $ n $ 是什么，输出都是 $ 1 $。

2. 单位函数 $ \epsilon(n) $

这里 $ [n=1] $ 是艾佛森括号（Iverson bracket），含义为：

• 当 $ n = 1 $ 时，$ [n=1] = 1 $；
• 当 $ n \neq 1 $ 时，$ [n=1] = 0 $。

因此单位函数 $ \epsilon(n) $ 的定义是：

$\epsilon(n) = \begin{cases} 1, & n = 1; \ 0, & n \neq 1. \end{cases} $

它仅在 $ n=1 $ 时取 $ 1 $，其余正整数处均取 $ 0 $。

3. 幂函数 $ id_k(n) $

对正整数 $ n $，函数值为 $ n $ 的 $ k $ 次幂，即： $ id_k(n) = n^k$

其中 $ k $ 是给定的常数（通常为非负整数）。

例如：

• 当 $ k=1 $ 时，$ id_1(n) = n $（恒等函数）；
• 当 $ k=2 $ 时，$ id_2(n) = n^2 $（平方函数）。

4. 除数函数 $ \sigma_k(n) $

符号 $ d \mid n $ 表示“$ d $ 是 $ n $ 的正除数”。

该函数对 $ n $ 的所有正除数 $ d $，求 $ d $ 的 $ k $ 次幂之和，即： $ \sigma_k(n) = \sum_{d \mid n} d^k $

例如：

• 若 \(n=6\)、\(k=1\)，\(6\) 的正除数为 \(1,2,3,6\)，则 \(\sigma_1(6) = 1^1 + 2^1 + 3^1 + 6^1 = 12\)（这是“约数和函数”）； -
• 若 $ k=0 $，则 \(d^0 = 1\)（$d \geq 1 $），此时 $ \sigma_0(n) $ 表示 $ n $ 的正除数的个数（即常用的除数计数函数 $ \tau(n) $ 或 $ d(n) $）。

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莫比乌斯函数

$ \mu(n) = \begin{cases} 1 & n = 1 \ (-1)^k & n = p_1p_2\cdots p_k \ (\text{其中 } p_i \text{ 为 } n \text{ 的互异质因子}) \ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $

重要性质： $\sum_{d \mid n} \mu(d) = [n = 1] $ （注：\([n=1]\)是艾佛森括号，\(n=1\) 时和为 1，否则为 0）。

\(n\) 为 \(k\) 个不同素数乘积时，\(\mu(n)=(-1)^k\)

\(n\) 有平方因子时，\(\mu(n)=0\)

欧拉函数 $ \varphi(n) $

定义： $ \varphi(n) = \sum_{i=1}^{n} [(n, i) = 1] $ （其中 $ [(n, i) = 1] $ 为艾佛森括号，含义是：

当 $ n $ 与 $ i $ 的最大公约数 $ (n, i) = 1 $ 时，取值为 $ 1 $；否则取值为 $ 0 $，即 $ \varphi(n) $ 表示 $ 1 $ 到 $ n $ 中与 $ n $ 互质的整数的个数）

重要性质： $ \sum_{d \mid n} \varphi(d) = n $