【初赛】排列组合 容斥原理 卡特兰数

排列组合

排列数

\(\text{A}_n^m\) ：从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素的排列数

\(\text{A}_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}\)

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组合数

\(\text{C}_n^m\) ：从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个元素 不管顺序

\(\text{C}_n^m=\binom n m=\frac{\text{A}_n^m}{m}=\frac{n!}{m(n-m)!}\)

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插板法

正整数和的数目

现有 $ n $ 个 完全相同 的元素，要求将其分为 $ k $ 组，保证每组至少有一个元素，一共有多少种分法？
考虑拿 $ k - 1 $ 块板子插入到 $ n $ 个元素两两形成的 $ n - 1 $ 个空里面。 因为元素是完全相同的，所以答案就是 $ \dbinom{n - 1}{k - 1} $。
本质是求 $ x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n $ 的正整数解的组数。

非负整数和的数目

对于 “n 个苹果选 k 个不相邻”，有固定组合公式：C(n - k + 1, k)（原理：用 “插空法”，将 k 个选中的苹果隔开，需预留 k-1 个空位，剩余空位自由分配）。

如果问题变化一下，每组允许为空
显然此时没法直接插板了，因为有可能出现很多块板子插到一个空里面的情况，非常不好计算。
我们考虑创造条件转化成有限制的问题一，先借 $ k $ 个元素过来，在这 $ n + k $ 个元素形成的 $ n + k - 1 $ 个空里面插板，答案为 $ \dbinom{n + k - 1}{k - 1} = \dbinom{n + k - 1}{n} $
虽然不是直接求的原问题，但这个式子就是原问题的答案，可以这么理解：

开头我们借来了 $ k $ 个元素，用于保证每组至少有一个元素，插完板之后再把这 $ k $ 个借来的元素从 $ k $ 组里面拿走。因为元素是相同的，所以转化过的情况和转化前的情况可以一一对应，答案也就是相等的。

\(\color{red}{前面都是废话 重点是：}\)
由此可以推导出插板法的公式：$ \dbinom{n + k - 1}{n} $。

本质是求 $ x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n $ 的非负整数解的组数（即要求 $ x_i \geq 0 $）。

不相邻的排列

从 $ 1 \sim n $ 这 $ n $ 个自然数中选 $ k $ 个，且这 $ k $ 个数中任何两个数都不相邻的组合有 $ \dbinom{n - k + 1}{k} $ 种。

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圆排列

$ n $ 个人全部围成一圈，所有的排列数记为 $ \text Q_n^n $。考虑其中已经排好的一圈，从不同位置断开，又变成不同的队列。所以有

\( \text Q_n^n \times n = \text A_n^n \implies \text Q_n = \frac{\text A_n^n}{n} = (n - 1)! \)

由此可知部分圆排列的公式：
\( \text Q_n^r = \frac{\text A_n^r}{r} = \frac{n!}{r (n - r)!} \)

别的就不记了 学不会吧
大部分是oiwiki上的
我这么抄一遍 总结一遍
会熟悉一些。明明小学超级擅长的不是。

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容斥

公式：A∪B=A+B-A∩B

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卡特兰数 Catalan

\(h_n=\frac{1}{n+1} \binom{2n}{n}\)

应用

1. 在 n+2 条边的凸多边形中，画出 n-1 条不相交的对角线将多边形将多边形分为 n 个三角形。 求满足条件的方案数。
2. 有 n 个运算符 n+1 和运算数的算式，要求在算式中任意添加括号，求本质不同的运算顺序种数。
3. n 个结点的形态不同的二叉树的方案数。
4. n个数，1个栈，求本质不同的合法序列数。
5. 有 2n 个人排队进入剧场，入场费 50 元，每人都带着一张 50 元或 100 元的钞票，妓院没有任何零钱，求满足无论什么时候都有零钱可找的情况数。