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概要

上一章介绍了堆和二叉堆的基本概念,并通过C语言实现了二叉堆。本章是二叉堆的C++实现。

目录
1. 二叉堆的介绍
2. 二叉堆的图文解析
3. 二叉堆的C++实现(完整源码)
4. 二叉堆的C++测试程序

转载请注明出处:http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3610382.html


更多内容:数据结构与算法系列 目录

(01) 二叉堆(一)之 图文解析 和 C语言的实现
(02) 二叉堆(二)之 C++的实现
(03) 二叉堆(三)之 Java的实

 

二叉堆的介绍

二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树,按照数据的排列方式可以分为两种:最大堆最小堆
最大堆:父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值;最小堆:父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。示意图如下:

 

二叉堆一般都通过"数组"来实现。数组实现的二叉堆,父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候,我们将"二叉堆的第一个元素"放在数组索引0的位置,有时候放在1的位置。当然,它们的本质一样(都是二叉堆),只是实现上稍微有一丁点区别。
假设"第一个元素"在数组中的索引为 0 的话,则父节点和子节点的位置关系如下:
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);


 

假设"第一个元素"在数组中的索引为 1 的话,则父节点和子节点的位置关系如下:
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i);
(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor(i/2);


 

注意:本文二叉堆的实现统统都是采用"二叉堆第一个元素在数组索引为0"的方式!

 

二叉堆的图文解析

图文解析是以"最大堆"来进行介绍的。

1. 基本定义

template <class T>
class MaxHeap{
    private:
        T *mHeap;        // 数据
        int mCapacity;    // 总的容量
        int mSize;        // 实际容量

    private:
        // 最大堆的向下调整算法
        void filterdown(int start, int end);
        // 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0,调整堆)
        void filterup(int start);
    public:
        MaxHeap();
        MaxHeap(int capacity);
        ~MaxHeap();

        // 返回data在二叉堆中的索引
        int getIndex(T data);
        // 删除最大堆中的data
        int remove(T data);
        // 将data插入到二叉堆中
        int insert(T data);
        // 打印二叉堆
        void print();
};

MaxHeap是最大堆的对应的类。它包括的核心内容是"添加"和"删除",理解这两个算法,二叉堆也就基本掌握了。下面对它们进行介绍。

 

2. 添加

假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85,需要执行的步骤如下:


如上图所示,当向最大堆中添加数据时:先将数据加入到最大堆的最后,然后尽可能把这个元素往上挪,直到挪不动为止!
将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后,最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

 

最大堆的插入代码(C++语言)

/*
 * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0,调整堆)
 *
 * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明:
 *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
template <class T>
void MaxHeap<T>::filterup(int start)
{
    int c = start;            // 当前节点(current)的位置
    int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
    T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小

    while(c > 0)
    {
        if(mHeap[p] >= tmp)
            break;
        else
        {
            mHeap[c] = mHeap[p];
            c = p;
            p = (p-1)/2;   
        }       
    }
    mHeap[c] = tmp;
}
  
/* 
 * 将data插入到二叉堆中
 *
 * 返回值:
 *     0,表示成功
 *    -1,表示失败
 */
template <class T>
int MaxHeap<T>::insert(T data)
{
    // 如果"堆"已满,则返回
    if(mSize == mCapacity)
        return -1;
 
    mHeap[mSize] = data;        // 将"数组"插在表尾
    filterup(mSize);    // 向上调整堆
    mSize++;                    // 堆的实际容量+1

    return 0;
}

insert(data)的作用:将数据data添加到最大堆中。当堆已满的时候,添加失败;否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组,使之重新成为最大堆。

 

3. 删除

假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90,需要执行的步骤如下:

如上图所示,当从最大堆中删除数据时:先删除该数据,然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位;接着,把这个“空位”尽量往上挪,直到剩余的数据变成一个最大堆。
从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后,最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。


注意:考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除60,执行的步骤不能单纯的用它的字节点来替换;而必须考虑到"替换后的树仍然要是最大堆"!

 

最大堆的删除代码(C++语言)

/* 
 * 最大堆的向下调整算法
 *
 * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明:
 *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0,表示从第1个开始)
 *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
template <class T>
void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end)
{
    int c = start;          // 当前(current)节点的位置
    int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
    T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小

    while(l <= end)
    {
        // "l"是左孩子,"l+1"是右孩子
        if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1])
            l++;        // 左右两孩子中选择较大者,即mHeap[l+1]
        if(tmp >= mHeap[l])
            break;        //调整结束
        else
        {
            mHeap[c] = mHeap[l];
            c = l;
            l = 2*l + 1;   
        }       
    }   
    mHeap[c] = tmp;
}

/*
 * 删除最大堆中的data
 *
 * 返回值:
 *      0,成功
 *     -1,失败
 */
template <class T>
int MaxHeap<T>::remove(T data)
{
    int index;
    // 如果"堆"已空,则返回-1
    if(mSize == 0)
        return -1;

    // 获取data在数组中的索引
    index = getIndex(data); 
    if (index==-1)
        return -1;

    mHeap[index] = mHeap[--mSize];    // 用最后元素填补
    filterdown(index, mSize-1);        // 从index位置开始自上向下调整为最大堆

    return 0;
}

 

二叉堆的C++实现(完整源码)

二叉堆的实现同时包含了"最大堆"和"最小堆"。
二叉堆(最大堆)的实现文件(MaxHeap.cpp)

  1 /**
  2  * 二叉堆(最大堆)
  3  *
  4  * @author skywang
  5  * @date 2014/03/07
  6  */
  7 
  8 #include <iomanip>
  9 #include <iostream>
 10 using namespace std;
 11 
 12 template <class T>
 13 class MaxHeap{
 14     private:
 15         T *mHeap;        // 数据
 16         int mCapacity;    // 总的容量
 17         int mSize;        // 实际容量
 18 
 19     private:
 20         // 最大堆的向下调整算法
 21         void filterdown(int start, int end);
 22         // 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0,调整堆)
 23         void filterup(int start);
 24     public:
 25         MaxHeap();
 26         MaxHeap(int capacity);
 27         ~MaxHeap();
 28 
 29         // 返回data在二叉堆中的索引
 30         int getIndex(T data);
 31         // 删除最大堆中的data
 32         int remove(T data);
 33         // 将data插入到二叉堆中
 34         int insert(T data);
 35         // 打印二叉堆
 36         void print();
 37 };
 38 
 39 /* 
 40  * 构造函数
 41  */
 42 template <class T>
 43 MaxHeap<T>::MaxHeap()
 44 {
 45     new (this)MaxHeap(30);
 46 }
 47 
 48 template <class T>
 49 MaxHeap<T>::MaxHeap(int capacity)
 50 {
 51     mSize = 0;
 52     mCapacity = capacity;
 53     mHeap = new T[mCapacity];
 54 }
 55 /* 
 56  * 析构函数
 57  */
 58 template <class T>
 59 MaxHeap<T>::~MaxHeap() 
 60 {
 61     mSize = 0;
 62     mCapacity = 0;
 63     delete[] mHeap;
 64 }
 65 
 66 /* 
 67  * 返回data在二叉堆中的索引
 68  *
 69  * 返回值:
 70  *     存在 -- 返回data在数组中的索引
 71  *     不存在 -- -1
 72  */
 73 template <class T>
 74 int MaxHeap<T>::getIndex(T data)
 75 {
 76     for(int i=0; i<mSize; i++)
 77         if (data==mHeap[i])
 78             return i;
 79 
 80     return -1;
 81 }
 82 
 83 /* 
 84  * 最大堆的向下调整算法
 85  *
 86  * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
 87  *
 88  * 参数说明:
 89  *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0,表示从第1个开始)
 90  *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 91  */
 92 template <class T>
 93 void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end)
 94 {
 95     int c = start;          // 当前(current)节点的位置
 96     int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
 97     T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小
 98 
 99     while(l <= end)
100     {
101         // "l"是左孩子,"l+1"是右孩子
102         if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1])
103             l++;        // 左右两孩子中选择较大者,即mHeap[l+1]
104         if(tmp >= mHeap[l])
105             break;        //调整结束
106         else
107         {
108             mHeap[c] = mHeap[l];
109             c = l;
110             l = 2*l + 1;   
111         }       
112     }   
113     mHeap[c] = tmp;
114 }
115 
116 /*
117  * 删除最大堆中的data
118  *
119  * 返回值:
120  *      0,成功
121  *     -1,失败
122  */
123 template <class T>
124 int MaxHeap<T>::remove(T data)
125 {
126     int index;
127     // 如果"堆"已空,则返回-1
128     if(mSize == 0)
129         return -1;
130 
131     // 获取data在数组中的索引
132     index = getIndex(data); 
133     if (index==-1)
134         return -1;
135 
136     mHeap[index] = mHeap[--mSize];    // 用最后元素填补
137     filterdown(index, mSize-1);        // 从index位置开始自上向下调整为最大堆
138 
139     return 0;
140 }
141 
142 /*
143  * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0,调整堆)
144  *
145  * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
146  *
147  * 参数说明:
148  *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
149  */
150 template <class T>
151 void MaxHeap<T>::filterup(int start)
152 {
153     int c = start;            // 当前节点(current)的位置
154     int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
155     T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小
156 
157     while(c > 0)
158     {
159         if(mHeap[p] >= tmp)
160             break;
161         else
162         {
163             mHeap[c] = mHeap[p];
164             c = p;
165             p = (p-1)/2;   
166         }       
167     }
168     mHeap[c] = tmp;
169 }
170   
171 /* 
172  * 将data插入到二叉堆中
173  *
174  * 返回值:
175  *     0,表示成功
176  *    -1,表示失败
177  */
178 template <class T>
179 int MaxHeap<T>::insert(T data)
180 {
181     // 如果"堆"已满,则返回
182     if(mSize == mCapacity)
183         return -1;
184  
185     mHeap[mSize] = data;        // 将"数组"插在表尾
186     filterup(mSize);    // 向上调整堆
187     mSize++;                    // 堆的实际容量+1
188 
189     return 0;
190 }
191   
192 /* 
193  * 打印二叉堆
194  *
195  * 返回值:
196  *     0,表示成功
197  *    -1,表示失败
198  */
199 template <class T>
200 void MaxHeap<T>::print()
201 {
202     for (int i=0; i<mSize; i++)
203         cout << mHeap[i] << " ";
204 }
205     
206 int main()
207 {
208     int a[] = {10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80};
209     int i, len=(sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) ;
210     MaxHeap<int>* tree=new MaxHeap<int>();
211 
212     cout << "== 依次添加: ";
213     for(i=0; i<len; i++)
214     {
215         cout << a[i] <<" ";
216         tree->insert(a[i]);
217     }
218 
219     cout << "\n== 最 大 堆: ";
220     tree->print();
221 
222     i=85;
223     tree->insert(i);
224     cout << "\n== 添加元素: " << i;
225     cout << "\n== 最 大 堆: ";
226     tree->print();
227 
228     i=90;
229     tree->remove(i);
230     cout << "\n== 删除元素: " << i;
231     cout << "\n== 最 大 堆: ";
232     tree->print();
233     cout << endl; 
234 
235     return 0;
236 }
View Code

二叉堆(最小堆)的实现文件(MinHeap.cpp)

  1 /**
  2  * 二叉堆(最小堆)
  3  *
  4  * @author skywang
  5  * @date 2014/03/07
  6  */
  7 
  8 #include <iomanip>
  9 #include <iostream>
 10 using namespace std;
 11 
 12 template <class T>
 13 class MinHeap{
 14     private:
 15         T *mHeap;        // 数据
 16         int mCapacity;    // 总的容量
 17         int mSize;        // 实际容量
 18 
 19     private:
 20         // 最小堆的向下调整算法
 21         void filterdown(int start, int end);
 22         // 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0,调整堆)
 23         void filterup(int start);
 24     public:
 25         MinHeap();
 26         MinHeap(int capacity);
 27         ~MinHeap();
 28 
 29         // 返回data在二叉堆中的索引
 30         int getIndex(T data);
 31         // 删除最小堆中的data
 32         int remove(T data);
 33         // 将data插入到二叉堆中
 34         int insert(T data);
 35         // 打印二叉堆
 36         void print();
 37 };
 38 
 39 /* 
 40  * 构造函数
 41  */
 42 template <class T>
 43 MinHeap<T>::MinHeap()
 44 {
 45     new (this)MinHeap(30);
 46 }
 47 
 48 template <class T>
 49 MinHeap<T>::MinHeap(int capacity)
 50 {
 51     mSize = 0;
 52     mCapacity = capacity;
 53     mHeap = new T[mCapacity];
 54 }
 55 /* 
 56  * 析构函数
 57  */
 58 template <class T>
 59 MinHeap<T>::~MinHeap() 
 60 {
 61     mSize = 0;
 62     mCapacity = 0;
 63     delete[] mHeap;
 64 }
 65 
 66 /* 
 67  * 返回data在二叉堆中的索引
 68  *
 69  * 返回值:
 70  *     存在 -- 返回data在数组中的索引
 71  *     不存在 -- -1
 72  */
 73 template <class T>
 74 int MinHeap<T>::getIndex(T data)
 75 {
 76     for(int i=0; i<mSize; i++)
 77         if (data==mHeap[i])
 78             return i;
 79 
 80     return -1;
 81 }
 82 
 83 /* 
 84  * 最小堆的向下调整算法
 85  *
 86  * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
 87  *
 88  * 参数说明:
 89  *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0,表示从第1个开始)
 90  *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 91  */
 92 template <class T>
 93 void MinHeap<T>::filterdown(int start, int end)
 94 {
 95     int c = start;          // 当前(current)节点的位置
 96     int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
 97     T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小
 98 
 99     while(l <= end)
100     {
101         // "l"是左孩子,"l+1"是右孩子
102         if(l < end && mHeap[l] > mHeap[l+1])
103             l++;        // 左右两孩子中选择较小者,即mHeap[l+1]
104         if(tmp <= mHeap[l])
105             break;        //调整结束
106         else
107         {
108             mHeap[c] = mHeap[l];
109             c = l;
110             l = 2*l + 1;   
111         }       
112     }   
113     mHeap[c] = tmp;
114 }
115  
116 /*
117  * 删除最小堆中的data
118  *
119  * 返回值:
120  *      0,成功
121  *     -1,失败
122  */
123 template <class T>
124 int MinHeap<T>::remove(T data)
125 {
126     int index;
127     // 如果"堆"已空,则返回-1
128     if(mSize == 0)
129         return -1;
130 
131     // 获取data在数组中的索引
132     index = getIndex(data); 
133     if (index==-1)
134         return -1;
135 
136     mHeap[index] = mHeap[--mSize];        // 用最后元素填补
137     filterdown(index, mSize-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆
138 
139     return 0;
140 }
141 
142 /*
143  * 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0,调整堆)
144  *
145  * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
146  *
147  * 参数说明:
148  *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
149  */
150 template <class T>
151 void MinHeap<T>::filterup(int start)
152 {
153     int c = start;            // 当前节点(current)的位置
154     int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
155     T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小
156 
157     while(c > 0)
158     {
159         if(mHeap[p] <= tmp)
160             break;
161         else
162         {
163             mHeap[c] = mHeap[p];
164             c = p;
165             p = (p-1)/2;   
166         }       
167     }
168     mHeap[c] = tmp;
169 }
170   
171 /* 
172  * 将data插入到二叉堆中
173  *
174  * 返回值:
175  *     0,表示成功
176  *    -1,表示失败
177  */
178 template <class T>
179 int MinHeap<T>::insert(T data)
180 {
181     // 如果"堆"已满,则返回
182     if(mSize == mCapacity)
183         return -1;
184  
185     mHeap[mSize] = data;        // 将"数组"插在表尾
186     filterup(mSize);            // 向上调整堆
187     mSize++;                    // 堆的实际容量+1
188 
189     return 0;
190 }
191   
192 /* 
193  * 打印二叉堆
194  *
195  * 返回值:
196  *     0,表示成功
197  *    -1,表示失败
198  */
199 template <class T>
200 void MinHeap<T>::print()
201 {
202     for (int i=0; i<mSize; i++)
203         cout << mHeap[i] << " ";
204 }
205 
206 int main()
207 {
208     int a[] = {80, 40, 30, 60, 90, 70, 10, 50, 20};
209     int i, len=(sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) ;
210     MinHeap<int>* tree=new MinHeap<int>();
211 
212     cout << "== 依次添加: ";
213     for(i=0; i<len; i++)
214     {
215         cout << a[i] <<" ";
216         tree->insert(a[i]);
217     }
218 
219     cout << "\n== 最 小 堆: ";
220     tree->print();
221 
222     i=15;
223     tree->insert(i);
224     cout << "\n== 添加元素: " << i;
225     cout << "\n== 最 小 堆: ";
226     tree->print();
227 
228     i=10;
229     tree->remove(i);
230     cout << "\n== 删除元素: " << i;
231     cout << "\n== 最 小 堆: ";
232     tree->print();
233     cout << endl; 
234 
235     return 0;
236 }
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二叉堆的C++测试程序

测试程序已经包含在相应的实现文件(MaxHeap.cpp)中了,下面只列出程序运行结果。

最大堆(MaxHeap.cpp)的运行结果:

== 依次添加: 10 40 30 60 90 70 20 50 80 
== 最 大 堆: 90 80 70 60 40 30 20 10 50 
== 添加元素: 85
== 最 大 堆: 90 85 70 60 80 30 20 10 50 40 
== 删除元素: 90
== 最 大 堆: 85 80 70 60 40 30 20 10 50 

最小堆(MinHeap.cpp)的运行结果:

== 依次添加: 80 40 30 60 90 70 10 50 20 
== 最 小 堆: 10 20 30 50 90 70 40 80 60 
== 添加元素: 15
== 最 小 堆: 10 15 30 50 20 70 40 80 60 90 
== 删除元素: 10
== 最 小 堆: 15 20 30 50 90 70 40 80 60 

 

PS. 二叉堆是"堆排序"的理论基石。以后讲解算法时会讲解到"堆排序",理解了"二叉堆"之后,"堆排序"就很简单了。

 

posted on 2014-04-06 09:39 如果天空不死 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏