[BZOJ4805]欧拉函数求和

题目大意：
　　对于给定的$n(n\leq2\times10^9)$，求$\sum_{i=1}^n\varphi(i)$。

思路：
　　设$S(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$。
　　因为$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$，$S(n)=\sum_{i=1}^n(i-\sum_{d|i,d<i}\varphi(d))=\frac{n(n+1)}2-\sum_{i=2}^nS(\lfloor\frac ni\rfloor)$。
　　

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<hash_map>
typedef long long int64;
inline int getint() {
    register char ch;
    while(!isdigit(ch=getchar()));
    register int x=ch^'0';
    while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
    return x;
}
const int N=1587402,M=120256;
bool vis[N];
int lim,phi[N],p[M];
int64 sum[N];
__gnu_cxx::hash_map<int,int64> map;
inline void sieve() {
    sum[1]=phi[1]=1;
    for(register int i=2;i<=lim;i++) {
        if(!vis[i]) {
            p[++p[0]]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(register int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=lim;j++) {
            vis[i*p[j]]=true;
            if(i%p[j]==0) {
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
        }
        sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
    }
}
inline int64 calc(const int &n) {
    if(n<=lim) return sum[n];
    if(map.count(n)) return map[n];
    int64 ans=(int64)n*(n+1)/2;
    for(int l=2,r;l<=n;l=r+1) {
        r=n/(n/l);
        ans-=calc(n/l)*(r-l+1);
    }
    return map[n]=ans;
}
int main() {
    const int n=getint();
    lim=pow(n,2./3);
    sieve();
    printf("%lld\n",calc(n));
    return 0;
}

 

线性筛预处理$S$的前$n^{\frac23}$项，剩下的数论分块计算，用哈希表保存已经算过的值，记忆化搜索即可。时间复杂度$O(n^{\frac23})$。