0-1背包问题

Reference: https://www.jianshu.com/p/a66d5ce49df5

问题描述:

0-1背包问题:给定n种物品和一背包。物品 i 的重量似乎 wi,其价值为 vi,背包的容量为 c。问应该如何选择装入背包中的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?

说实在的,书上讲的东西生涩难懂,我更偏向于看一些有趣的东西。我们来换一个风格来描述这一个问题。
以下内容大部分来自《算法图解》一书。看完之后大有收获。

另一种风格的描述:

假设你是一个小偷,背着一个可装下4磅东西的背包,你可以偷窃的物品如下:

 
 

为了让偷窃的商品价值最高,你该选择哪些商品?

简单算法

最简单的算法是:尝试各种可能的商品组合,并找出价值最高的组合。

 
 

这样显然是可行的,但是速度非常慢。在只有3件商品的情况下,你需要计算8个不同的集合;当有4件商品的时候,你需要计算16个不同的集合。每增加一件商品,需要计算的集合数都将翻倍!这种算法的运行时间是O(2ⁿ),真的是慢如蜗牛。

动态规划

解决这样问题的答案就是使用动态规划!下面来看看动态规划的工作原理。动态规划先解决子问题,再逐步解决大问题。

对于背包问题,你先解决小背包(子背包)问题,再逐步解决原来的问题。

 
 

比较有趣的一句话是:每个动态规划都从一个网格开始。

背包问题的网格如下:

 
 

网格的各行为商品,各列为不同容量(1~4磅)的背包。所有这些列你都需要,因为它们将帮助你计算子背包的价值。

网格最初是空的。你将填充其中的每个单元格,网格填满后,就找到了问题的答案!

1.吉他行

后面会列出计算这个网格中单元格值得公式,但现在我们先来一步一步做。首先来看第一行。

 
 

这是吉他行,意味着你将尝试将吉他装入背包。在每个单元格,都需要做一个简单的决定:偷不偷吉他?别忘了,你要找出一个价值最高的商品集合。

第一个单元格表示背包的的容量为1磅。吉他的重量也是1磅,这意味着它能装入背包!因此这个单元格包含吉他,价值为1500美元。

下面来填充网格。

 
 

与这个单元格一样,每个单元格都将包含当前可装入背包的所有商品。

来看下一个单元格。这个单元格表示背包容量为2磅,完全能够装下吉他!

 
 

这行的其他单元格也一样。别忘了,这是第一行,只有吉他可供你选择,换而言之,你假装现在还没发偷窃其他两件商品。

 
 

此时你很可能心存疑惑:原来的问题说的额是4磅的背包,我们为何要考虑容量为1磅、2磅等得背包呢?前面说过,动态规划从小问题着手,逐步解决大问题。这里解决的子问题将帮助你解决大问题。

 
 

别忘了,你要做的是让背包中商品的价值最大。这行表示的是当前的最大价值。它指出,如果你有一个容量4磅的背包,可在其中装入的商品的最大价值为1500美元。

你知道这不是最终解。随着算法往下执行,你将逐步修改最大价值。

2.音响行

我们来填充下一行——音响行。你现在处于第二行,可以偷窃的商品有吉他和音响。

我们先来看第一个单元格,它表示容量为1磅的背包。在此之前,可装入1磅背包的商品最大价值为1500美元。

 
 

该不该偷音响呢?

背包的容量为1磅,显然不能装下音响。由于容量为1磅的背包装不下音响,因此最大价值依然是1500美元。

 
 

接下来的两个单元格的情况与此相同。在这些单元格中,背包的容量分别为2磅和3磅,而以前的最大价值为1500美元。由于这些背包装不下音响,因此最大的价值保持不变。

 
 

背包容量为4磅呢?终于能够装下音响了!原来最大价值为1500美元,但如果在背包中装入音响而不是吉他,价值将为3000美元!因此还是偷音响吧。

 
 

你更新了最大价值。如果背包的容量为4磅,就能装入价值至少3000美元的商品。在这个网格中,你逐步地更新最大价值。

 
 

3.笔记本电脑行

下面以同样的方式处理笔记本电脑。笔记本电脑重3磅,没法将其装入1磅或者2磅的背包,因此前两个单元格的最大价值仍然是1500美元。

 
 

对于容量为3磅的背包,原来的最大价值为1500美元,但现在你可以选择偷窃价值2000美元的笔记本电脑而不是吉他,这样新的最大价值将为2000美元。

 
 

对于容量为4磅的背包,情况很有趣。这是非常重要的部分。当前的最大价值为3000美元,你可不偷音响,而偷笔记本电脑,但它只值2000美元。

 
 

价值没有原来高,但是等一等,笔记本电脑的重量只有3磅,背包还有1磅的重量没用!

 
 

在1磅的容量中,可装入的商品的最大价值是多少呢?你之前计算过。

 
 

根据之前计算的最大价值可知,在1磅的容量中可装入吉他,价值1500美元。因此,你需要做如下的比较:

 
 

你可能始终心存疑惑:为何计算小背包可装入的商品的最大价值呢?但愿你现在明白了其中的原因!余下了空间时,你可根据这些子问题的答案来确定余下的空间可装入哪些商品。笔记本电脑和吉他的总价值为3500美元,因此偷它们是更好的选择。

最终的网格类似于下面这样。

 
 

答案如下:将吉他和笔记本电脑装入背包时价值更高,为3500美元。

你可能认为,计算最后一个单元格的价值时,我使用了不同的公式。那是因为填充之前的单元格时,我故意避开了一些复杂的因素。其实,计算每个单元格的价值时,使用的公式都相同。这个公式如下。

 
 

你可以使用这个公式来计算每个单元格的价值,最终的网格将与前一个网格相同。现在你明白了为何要求解子问题了吧?你可以合并两个子问题的解来得到更大问题的解。

 
 

代码实现:

算法的核心是思想,当清楚了整个过程,那么写代码就简单了,直接来模拟上述的一个过程:

/**
 * @author:我没有三颗心脏
 * @create:2017-11-14-10:24
 */
public class MaxBag {
    static int n;           // 描述物品个数
    static int c;           // 描述背包容量
    static int[] value;     // 描述物品价值
    static int[] weight;    // 描述物品重量

    public static void main(String[] args) {
        // 初始赋值操作
        value = new int[]{1500, 3000, 2000};
        weight = new int[]{1, 4, 3};
        c = 4;
        n = 3;

        // 构造最优解的网格:3行4列
        int[][] maxValue = new int[n][c];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < c; j++) {
                maxValue[i][j] = 0;
            }
        }   // end for

        // 填充网格
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j <= c; j++) {
                if (i == 0) {
                    maxValue[i][j - 1] = (weight[i] <= j ? value[i] : 0);
                } else {
                    int topValue = maxValue[i - 1][j - 1];  // 上一个网格的值
                    int thisValue = (weight[i] <= j ?       // 当前商品的价值 + 剩余空间的价值
                            (j - weight[i] > 0 ? value[i] + maxValue[i - 1][j - weight[i]] : value[i])
                            : topValue);

                    // 返回 topValue和thisValue中较大的一个
                    maxValue[i][j - 1] = (topValue > thisValue ? topValue : thisValue);
                }   // end if
            }   // end inner for
        }   // end outer for

        // 打印结果二维数组maxValue
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < c; j++) {
                System.out.printf("%6d", maxValue[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

最后打印出来的结果如下:

 
 

再增加一件商品将如何呢

假设你发现还有第四件商品可偷——一个iPhone!(或许你会毫不犹豫的拿走,但是请别忘了问题的本身是要拿走价值最大的商品)

 
 

此时需要重新执行前面所做的计算吗?不需要。别忘了,动态规划逐步计算最大价值。到目前为止,计算出的最大价值如下:

 
 

这意味着背包容量为4磅时,你最多可偷价值3500美元的商品。但这是以前的情况,下面再添加表示iPhone的行。

 
 

我们还是从第一个单元格开始。iPhone可装入容量为1磅的背包。之前的最大价值为1500美元,但iPhone价值2000美元,因此该偷iPhone而不是吉他。

 
 

在下一个单元格中,你可装入iPhone和吉他。

 
 

对于第三个单元格,也没有比装入iPhone和吉他更好的选择了。

对于最后一个单元格,情况比较有趣。当前的最大价值为3500美元,但你可以偷iPhone,这将余下3磅的容量。

 
 

3磅容量的最大价值为2000美元!再加上iPhone价值2000美元,总价值为4000美元。新的最大价值诞生了!

最终的网格如下。

 
 

问题:沿着一列往下走,最大价值可能降低吗?

 
 

答案是:不可能。因为每次迭代时,你都存储的是当前的最大价值。最大价值不可能比以前低!

总结:

有时候教科书生涩难懂,你需要找一些更好的资料来帮助你学习,更重要的一点是,保持一颗好奇心还有求知欲。

欢迎转载,转载请注明出处!
简书ID:@我没有三颗心脏
github:wmyskxz
欢迎关注公众微信号:wmyskxz_javaweb
分享自己的Java Web学习之路以及各种Java学习资料

 


作者:我没有三颗心脏
链接:https://www.jianshu.com/p/a66d5ce49df5
来源:简书
简书著作权归作者所有,任何形式的转载都请联系作者获得授权并注明出处。

posted on 2019-07-02 11:24  alex.shu  阅读(4787)  评论(0编辑  收藏  举报

导航