noi前第十七场 题解

A. 黑白沙漠

考虑这样一个做法，对于每个点处理出左侧和右侧分别的最优决策点，然后比较二者谁更优即可。
当然这样的点可以表示为若干个区间，对于其中每个区间，左右侧谁更优是单调的，可以通过二分求解。

所以问题就是如何处理出这样的若干个区间。
可以想到这个最优决策点就是上凸包会切到的点。
所以写一个单调栈维护就好了。

 

B. 荒野聚餐

学习了一下如何做线性规划对偶，大概可以这样做：
首先将对偶的式子化为标准型，最小化变量，约束条件为一些变量 \(\geq\) 常量，并且每个变量 \(\geq 0\)。
对每个约束条件设置一个对偶变量，对偶问题就是用这些对偶变量尽量去表示出一个下界，切到原来最小化的东西。
所以其对偶问题就是最大化对偶变量，满足每个对偶变量 \(\geq 0\)，并且对偶变量满足在每个原变量上的系数和 \(\geq\) 原变量的该系数。

本题可以写为

\(\text{minimize}\ \sum \limits_{i=1}^n x_i+\sum \limits_{i=1}^ny_i+s\)
\(\text{st}.\forall_{i,j}\ x_i+y_j+\frac{s}{c}\geq a_{i,j}\)

\(\forall_{i} x_i \geq 0,\forall_{i} y_i \geq 0,s \geq 0\)

对偶一下就是

\(\text{maximize}\ \sum \limits_{i,j}a_{i,j}d_{i,j}\)
\(\text{st.}\forall_{i} \sum \limits_{j=1}^n d_{i,j} \leq 1\)
\(\forall_{j} \sum \limits_{i=1}^n d_{i,j} \leq 1\)
\(\sum \limits_{i,j}\frac{d_{i,j}}{c}\leq 1\)

将最后一个式子中的 \(c\) 乘到右面去，可以发现问题就是匹配个数 \(\leq c\) 的最大带权匹配。
所以写一个 SPFA 费用流，卡卡常就能通过了。

 

C. 火星在住

因为可以用费用流去做，所以这个函数显然是凸的。
所以链分治然后写个类似闵可夫斯基和的东西合并答案就完事了。
具体来说，每次分治合并一条重链，对于上面每个点的轻边信息，通过另外一个分治来处理就好了。