数据结构笔记 — 树

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树

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1 普通树

1.1 树的概念

• 树 (Tree) 是n(n>=0)个结点的有限集，当 n=0 时成为空树，在任意一棵非空树中

  • 有且仅有一个 特定的称为根 (Root) 的结点

  • 当 n>1 时，其余结点可分为 m(m>0) 个互不相交的有限集 1、T2、..、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树 (SubTree)

    

• 每一个圈称为树的一个 结点 ，结点拥有的子树数称为 结点的度 (Degree) ，树的度取树内各结点的度的 最大值

  • 度为 0 的结点称为叶结点 (Leaf) 或终端结点

  • 度不为 0 的结点称为分支结点点或非终端结点，除根结点外，分支结点也称为内部结点

    

• 节点间关系

  • 结点的子树的根称为结点的孩子 (Child)，相应的，该结点称为孩子的双亲 (Parent) ，同一双亲的孩子之间互称为兄弟 (Sibling)

  • 结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点

• 结点的层次

  • 结点的层次 (Level) 从根开始，根为第一层，根的孩子为第二层

  • 其双亲在同一层的结点互为堂兄弟

  • 树中结点的最大层次称为树的深度 (Depth) 或高度

    

• 如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树

• 森林 (Forest) 是 m(m>=0) 棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林

1.2 树的结构及表示

双亲表示法

#define MAX_TREE_SIZE 100
typedef int ElemType ;
​
typedef struct PTNode{
   ElemType data;  //结点数据
   int parent;     //双亲位置
} PTNode;
​
typedef struct {
   PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];
   int r;      //根的位置
   int n;      //结点数目
} PTree;

• 此种表示法中，我们可以根据某节点的 parent 指针找到其双亲结点，时间复杂度为 O(1) ,当做一年到 parent == 1 时，表示找到了树的根节点

• 但是，如果想要知道某结点的孩子，那么只能遍历整个树，此时，应当改变一下表示方法

  

孩子表示法

• 每个结点的指针指向一个链表，链表中存放的是其孩子结点所对应的的下标值

孩子双亲表示法

• 将上方的孩子表示法进行完善，加入每个结点的双亲所对应的下标即可

  

  #include <stdio.h>
  #define MAX_TREE_SIZE 100
  typedef char ElemType;
  ​
  //孩子结点
  typedef struct CTNode{
     int child;              //孩子结点的下标
     struct CTNode *next;    //指向下一孩子结点的指针
  } *ChildPtr;
  ​
  //表头结构
  typedef struct {
     ElemType data;          //存放树中结点的数据
     int parent;             //存放双亲的下标
     ChildPtr firstChild;    //指向第一个孩子的指针
  } CTBox;
  ​
  //树结构
  typedef struct {
     CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; //结点数组
     int root, num;              //根节点和节点数量
  } CTree;

2 二叉树

• 二又树 (Bnary Tree) 是 n(n>=0) 个结点的有限集合，该集合或者为空集 (空二又树) ，或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点点的左子树和右子树的二又树组成

• 二叉树特点

  • 每个结点最多有两棵子树，所以二又树中不存在度大于 2 的结点

  • 左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒

  • 即使树中某结点只有一棵子树，也要 区分它是左子树还是右子树

• 斜树：均为左子树或者均为右子树

• 满二叉树 ：在一棵二又树中，如果所有分支结点 都存在左子树和右子树 ，并且 所有叶子都在同一层 上，这样的二又树称为满二又树

  • 特点

    • 叶子只能出现在最下一层

    • 非叶子结点的度一定是 2

    • 在同样深度的二又树中，满二又树的结点个数一定最多，同时叶子也是最多

      

• 完全二叉树 ：对一棵具有 n 个结点的二又树按层序编号，如果编号为 i(1<=i<=n) 的结点与同样深度的满二又树中编号为 i 的结点点位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二又树

• • 叶子结点只能出现在最下两层

  • 最下层的叶子一定集中在左部连续位置

  • 倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置

  • 如果结点度为 1 ，则该结点只有左孩子

  • 同样结点树的二又树，完全二又树的深度最小

  • 满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树

• 二叉树的性质

  • 二叉树的第 i 层至多有 ​ 个结点 (i >= 1)

  • 深度为 k 的二叉树至多有 ​ 个结点 (k >= 1)

  • 对于任意一棵二叉树 T ，如果其终端结点数为 ​ ，度为 2 的结点数为 ​ ，则 ​n0 = n1 + 1

  • 

• • 如果对一棵拥有 n 个结点的完全二叉树（深度为​）的结点按照层序编号，对于任意结点 i(1 <= i <= n) 具有以下性质：

    • 如果 i = 1 ，则结点 i 是二叉树的根，无双亲

    • 如果 i > 1 ，则其双亲是结点 ​[ i / 2] （下限取整）

    • 如果 2i > n ，则结点 i 无左孩子（结点 i 为叶子结点 ），否则其左孩子是结点 2i

    • 如果 2i+1 > n ，则结点 i 无右孩子，否则其右孩子是结点 2i+1

3 二叉链表

• 结构定义

  typedef struct BitNode{
      ElemType data;
      struct BitNode *lChild, *rChild;
  } BiTNode, *BiTree;

• 二叉树的遍历: (traversing binary tree) 是指从根结点出发，按照某种 次序 依次 访问 二又树中所有结点，使得 每个结点被访问一次且仅被访问一次

• 前序遍历：若二又树为空，则空操作返回；否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树（遍历次序为：ABDHIEJCFKG）

• 中序遍历：若树为空，则空操作返回；否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树（遍历次序为：HDIBEJAFKCG）

• 后序遍历：若树为空，则空操作返回；否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后访问根结点（遍历次序为：HIDJEBKFGCA）

• 层序遍历：若树为空，则空操作返回；否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问（遍历次序为：ABCDEFGHIJK）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
​
typedef int DataType;
​
typedef struct Node{
    DataType Data;
    struct Node *lChild, *rChild;
}BinTNode, *BiTree;
​
void Create_BinTree(BiTree *T)
{
    char ch;
    scanf("%c",&ch);
​
    if(ch=='#') *T==NULL;
    else
    {
        *T=(BinTNode*)malloc(sizeof(BinTNode));
        (*T)->Data=ch;
        (*T)->lChild=NULL;
        (*T)->rChild=NULL;
        Create_BinTree(&(*T)->lChild);//建立左子树
        Create_BinTree(&(*T)->rChild);//建立右子树
    }
}
​
void DestroyBitTree(BiTree *T)//销毁二叉树
{
    if(*T)
    {
        if((*T)->lChild)
            DestroyBitTree(&(*T)->lChild);
        if((*T)->rChild)
            DestroyBitTree(&(*T)->rChild);
​
        free(*T);
        *T=NULL;
    }
}
​
//遍历二叉树
void PreOrder_Traverse(BiTree T)//先序遍历
{
    if(T==NULL) return;
    else
    {
        printf(" %c " , T->Data);
        PreOrder_Traverse(T->lChild);
        PreOrder_Traverse(T->rChild);
    }
​
}
​
void InOrder_Traverse(BiTree T)//中序遍历
{
    if(T==NULL) return;
    else
    {
        InOrder_Traverse(T->lChild);
        printf(" %c " , T->Data);
        InOrder_Traverse(T->rChild);
    }
​
}
​
void PostOrder_Traverse(BiTree T)//后序遍历
{
    if(T==NULL) return;
    else
    {
        PostOrder_Traverse(T->lChild);
        PostOrder_Traverse(T->rChild);
        printf(" %c " , T->Data);
    }
}