斐波那契数列与黄金分割

> 1.0/0.618
[1] 1.618123
> (5^(1/2)-1)/2
[1] 0.618034
> 1/0.618034
[1] 1.618034
> 2/(5^(1/2)-1)
[1] 1.618034

 

斐波那契数列与黄金分割

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关系

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。

1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625…………，55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...

越到后面，这些比值越接近黄金比.

证明

两边同时除以

  

得到：

 

。

若

  

的极限存在，设其极限为x，

则

  

。

所以

  

。

由于

 

解得

 

所以极限是黄金分割比。