每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可免去重复计算
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接下来，我们就要考虑如何进行改进，我们自然而然就可以想到如果每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。那么可以用n方的时间复杂度完成计算。因为三角形的数字总数是 n(n+1)/2
根据这个思路，我们就可以将上面的代码进行改进，使之成为记忆递归型的动态规划程序：
- #include <iostream>
- #include <algorithm>
- using namespace std;
- #define MAX 101
- int D[MAX][MAX];
- int n;
- int maxSum[MAX][MAX];
- int MaxSum(int i, int j){
- if( maxSum[i][j] != -1 )
- return maxSum[i][j];
- if(i==n)
- maxSum[i][j] = D[i][j];
- else{
- int x = MaxSum(i+1,j);
- int y = MaxSum(i+1,j+1);
- maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j];
- }
- return maxSum[i][j];
- }
- int main(){
- int i,j;
- cin >> n;
- for(i=1;i<=n;i++)
- for(j=1;j<=i;j++) {
- cin >> D[i][j];
- maxSum[i][j] = -1;
- }
- cout << MaxSum(1,1) << endl;
- }
当我们提交如上代码时，结果就是一次AC
虽然在短时间内就AC了。但是，我们并不能满足于这样的代码，因为递归总是需要使用大量堆栈上的空间，很容易造成栈溢出，我们现在就要考虑如何把递归转换为递推，让我们一步一步来完成这个过程。
我们首先需要计算的是最后一行，因此可以把最后一行直接写出，如下图：
现在开始分析倒数第二行的每一个数，现分析数字2，2可以和最后一行4相加，也可以和最后一行的5相加，但是很显然和5相加要更大一点，结果为7，我们此时就可以将7保存起来，然后分析数字7，7可以和最后一行的5相加，也可以和最后一行的2相加，很显然和5相加更大，结果为12，因此我们将12保存起来。以此类推。。我们可以得到下面这张图：
然后按同样的道理分析倒数第三行和倒数第四行，最后分析第一行，我们可以依次得到如下结果：
上面的推导过程相信大家不难理解，理解之后我们就可以写出如下的递推型动态规划程序：
- #include <iostream>
- #include <algorithm>
- using namespace std;
- #define MAX 101
- int D[MAX][MAX];
- int n;
- int maxSum[MAX][MAX];
- int main(){
- int i,j;
- cin >> n;
- for(i=1;i<=n;i++)
- for(j=1;j<=i;j++)
- cin >> D[i][j];
- for( int i = 1;i <= n; ++ i )
- maxSum[n][i] = D[n][i];
- for( int i = n-1; i>= 1; --i )
- for( int j = 1; j <= i; ++j )
- maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j];
- cout << maxSum[1][1] << endl;
- }
我们的代码仅仅是这样就够了吗？当然不是，我们仍然可以继续优化，而这个优化当然是对于空间进行优化，其实完全没必要用二维maxSum数组存储每一个MaxSum(r,j),只要从底层一行行向上递推，那么只要一维数组maxSum[100]即可,即只要存储一行的MaxSum值就可以。
对于空间优化后的具体递推过程如下：
接下里的步骤就按上图的过程一步一步推导就可以了。进一步考虑，我们甚至可以连maxSum数组都可以不要，直接用D的第n行直接替代maxSum即可。但是这里需要强调的是：虽然节省空间，但是时间复杂度还是不变的。
依照上面的方式，我们可以写出如下代码：
- #include <iostream>
- #include <algorithm>
- using namespace std;
- #define MAX 101
- int D[MAX][MAX];
- int n;
- int * maxSum;
- int main(){
- int i,j;
- cin >> n;
- for(i=1;i<=n;i++)
- for(j=1;j<=i;j++)
- cin >> D[i][j];
- maxSum = D[n]; //maxSum指向第n行
- for( int i = n-1; i>= 1; --i )
- for( int j = 1; j <= i; ++j )
- maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];
- cout << maxSum[1] << endl;
- }
接下来，我们就进行一下总结：
递归到动规的一般转化方法
递归函数有n个参数，就定义一个n维的数组，数组的下标是递归函数参数的取值范围，数组元素的值是递归函数的返回值，这样就可以从边界值开始， 逐步填充数组，相当于计算递归函数值的逆过程。
动规解题的一般思路
1. 将原问题分解为子问题
- 把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解决(数字三角形例）。
- 子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求 解一次。
2.确定状态
- 在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状 态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题， 所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状 态”所对应的子问题的解。
- 所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。 在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，所以这个问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。
整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需时间。在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次，且在每个状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。
3.确定一些初始状态（边界状态）的值
以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值就是底边数字值。
4. 确定状态转移方程
定义出什么是“状态”，以及在该“状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”(递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。
数字三角形的状态转移方程:
能用动规解决的问题的特点
1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的 子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结 构性质。
2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没有关系。
using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; namespace TriangleCalc { class Program { int[][] dataArry = new int[5][]; int[][] sumArry = new int[5][]; int n=4; public Program() { for (int i = 0; i < dataArry.Length; i++) { dataArry[i] = new int[i + 1]; } dataArry[0][0]=7; dataArry[1][0]=3;dataArry[1][1]=8; dataArry[2][0]=8;dataArry[2][1]=1;dataArry[2][2]=0; dataArry[3][0]=2;dataArry[3][1]=7;dataArry[3][2]=4;dataArry[3][3]=4; dataArry[4][0]=4;dataArry[4][1]=5;dataArry[4][2]=2;dataArry[4][3]=6;dataArry[4][4]=6; dumpArray(dataArry); for (int i = 0; i < sumArry.Length; i++) { sumArry[i] = new int[i + 1]; } } static void Main(string[] args) { Program prog = new Program(); int i=0,j=0; prog.calcArray(prog.dataArry, i, j, 4, prog.dataArry[i][j]); Console.WriteLine("--------------------------------"); int maxSum = prog.MaxSum(0, 0); Console.WriteLine("{0}", maxSum); } void calcArray(int[][] dataArry, int i, int j, int max_line,int sum) { if (i==max_line) { Console.WriteLine("{0},{1}:{2}",i,j,sum); return; } else { calcArray(dataArry, i+1, j, max_line, sum+dataArry[i+1][j]); calcArray(dataArry, i+1, j+1, max_line, sum+dataArry[i+1][j+1]); } } void dumpArray(int[][] dataArry) { for (int i = 0; i < dataArry.Length; i++) { int[] line = dataArry[i]; for (int j = 0; j < line.Length; j++) { Console.Write("{0},", line[j]); } Console.WriteLine(); } } //int MaxSum(int i, int j) //{ // if (maxSum[i][j] != -1) // return maxSum[i][j]; // if (i == n) // maxSum[i][j] = D[i][j]; // else // { // int x = MaxSum(i + 1, j); // int y = MaxSum(i + 1, j + 1); // maxSum[i][j] = max(x, y) + D[i][j]; // } // return maxSum[i][j]; //} int MaxSum(int i, int j){ if (i == n) { sumArry[i][j] = dataArry[i][j]; return sumArry[i][j]; } //int x = MaxSum(i+1,j); //int y = MaxSum(i+1,j+1); //return max(x, y) + dataArry[i][j]; sumArry[i+1][j] = MaxSum(i+1,j); sumArry[i + 1][j + 1] = MaxSum(i + 1, j + 1); sumArry[i][j]=max(sumArry[i+1][j], sumArry[i+1][j+1]) + dataArry[i][j]; return sumArry[i][j]; } /* 7, 3,8, 8,1,0, 2,7,4,4, 4,5,2,6,6, 30 请按任意键继续. . . */ int max(int x, int y) { return x > y ? x : y; } } }
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