CCFCSPRO 20160911 第四题 交通规划 解题报告

问题描述

　　G国国王来中国参观后，被中国的高速铁路深深的震撼，决定为自己的国家也建设一个高速铁路系统。
　　建设高速铁路投入非常大，为了节约建设成本，G国国王决定不新建铁路，而是将已有的铁路改造成高速铁路。现在，请你为G国国王提供一个方案，将现有的一部分铁路改造成高速铁路，使得任何两个城市间都可以通过高速铁路到达，而且从所有城市乘坐高速铁路到首都的最短路程和原来一样长。请你告诉G国国王在这些条件下最少要改造多长的铁路。

输入格式

　　输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示G国城市的数量和城市间铁路的数量。所有的城市由1到n编号，首都为1号。
　　接下来m行，每行三个整数a, b, c，表示城市a和城市b之间有一条长度为c的双向铁路。这条铁路不会经过a和b以外的城市。

输出格式

　　输出一行，表示在满足条件的情况下最少要改造的铁路长度。

样例输入

4 5
1 2 4
1 3 5
2 3 2
2 4 3
3 4 2

样例输出

11

评测用例规模与约定

　　对于20%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10，1 ≤ m ≤ 50；
　　对于50%的评测用例，1 ≤ n ≤ 100，1 ≤ m ≤ 5000；
　　对于80%的评测用例，1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ m ≤ 50000；
　　对于100%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10000，1 ≤ m ≤ 100000，1 ≤ a, b ≤ n，1 ≤ c ≤ 1000。输入保证每个城市都可以通过铁路达到首都。

解题思路：

 

１．最短路径生成树，难的是证明。

２．先跑一遍到１点的最短路

３．考虑如何加点，使得　要改造铁路长度总和最小　，这符合最小生成树的思想，考虑把最小生成树和最短路结合起来，但最短路优先级高。

对于每个点，考虑从哪些点更新过来，即满足dis[u]==dis[v]+edge[i].dis，取边权的min即可，即当前点加入点的集合中，选取最近的点连边，这符合prim的思想，只不过反了过来。

总的思想：对于每个点，在满足最短路的情况下，选择最近的点，加入最小生成树的集合中。

我考场上没有证明，举了几个反例，大胆猜想．．．

 

代码：#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long 
#define R register
using namespace std;
const int N=10007;
const int M=200015;
int n,m,num,head[N],far[N],flag[N],ans;
struct edge{
    int nxt,to,dis;
}e[M];
inline void add(R int u,R int v,R int w)
{
    e[++num].nxt=head[u];
    e[num].dis=w;
    e[num].to=v;
    head[u]=num;
}
inline void spfa()
{
    for(R int i=1;i<=n;i++)
    far[i]=0x3f3f3f3f;
    far[1]=0;
    queue<int>q;
    flag[1]=1;
    q.push(1);
    while(!q.empty())
    {
        R int u=q.front();
        q.pop();
        flag[u]=0;
        for(R int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
        {
            R int v=e[i].to;
            if(far[v]>far[u]+e[i].dis)
            {
                far[v]=far[u]+e[i].dis;
                if(flag[v]==0)
                {
                    q.push(v);
                    flag[v]=1;
                }        
            }
        }
    }
}
int main()
{
    freopen("rail.in","r",stdin);
    freopen("rail.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(R int i=1;i<=m;i++)
    {
        R int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w);
        add(v,u,w);
    }
    spfa();
    for(R int u=2;u<=n;u++)
    {
        R int Min=0x3f3f3f3f;
        for(R int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
        {
            R int v=e[i].to;
            if(far[u]==far[v]+e[i].dis)
            Min=min(Min,e[i].dis);
        }
        if(Min!=0x3f3f3f3f)
        ans+=Min;
    }
    printf("%d",ans)；
　　return 0;
}