线段树维护方差

题面

方差
方差2
一道适合巩固带 tag 标记的线段树写法的题。

题解

此题解为 t1 题解，t2更为简单一些,不过可以练一下除法取模。
平均数维护很简单吧，只需要维护区间和即可。
方差公式为：

\[\frac{1}{n} * \sum_{i = l} ^ {r} (a_i - \bar a) ^ 2 \]

这样我们肯定很难维护，于是我们尝试把平方打开，就会发现这道题迎刃而解了：

\[\sum_{i = l} ^ {r} (a_i - \bar a) ^ 2\ = \ (a_{l} ^ 2 + a_{l + 1} ^ 2 + … + a_{r} ^ 2) - 2 * \bar a *(a_l + a_{l + 1} + … + a_r) - (r - l + 1) * \bar a ^ 2 \]

不难发现中间是我们维护的区间和，后面可以直接计算，所以我们就只需要再维护一个区间平方和即可。
维护区间平方和的方法和维护区间和的方法类似，向下传递 tag 标记和更新时，和上述的展开一样，所以每次要更新的时候，一定要先更新平方和的值，不然中间部分的区间和就变了，答案自然也就不对。
最后这道题还有一个小细节，如果想偷偷懒只写一个返回值为结构体的 query 的话，记得结构体里或者声明它的时候要初始化，不然它会被随机赋值，就会全 WA 掉。

代码

#include<cstdio>

const int N = 1e5 + 5;

int n,m;
double a[N];

struct SegmentTree {
	#define M N << 2
	int l[M],r[M];
	double sum[M],pow[M],tag[M];
	inline void pushup(int p) {
		sum[p] = sum[p << 1] + sum[p << 1 | 1];
		pow[p] = pow[p << 1] + pow[p << 1 | 1];
	}
	void build(int p,int lf,int rg) {
		l[p] = lf,r[p] = rg;
		if(lf == rg) {
			sum[p] = a[lf]; pow[p] = a[lf] * a[lf];
			return ;
		}
		int mid = (lf + rg) >> 1;
		build(p << 1,lf,mid);
		build(p << 1 | 1,mid + 1,rg);
		pushup(p);
	}
	inline void pushdown(int p) {
		if(!tag[p]) return ;
		pow[p << 1] += 2.0 * tag[p] * sum[p << 1] + (r[p << 1] - l[p << 1] + 1.0) * tag[p] * tag[p];
		pow[p << 1 | 1] += 2.0 * tag[p] * sum[p << 1 | 1] + (r[p << 1 | 1] - l[p << 1 | 1] + 1.0) * tag[p] * tag[p];
		sum[p << 1] += (r[p << 1] - l[p << 1] + 1.0) * tag[p];
		sum[p << 1 | 1] += (r[p << 1 | 1] - l[p << 1 | 1] + 1.0) * tag[p];
		tag[p << 1] += tag[p]; tag[p << 1 | 1] += tag[p]; tag[p] = 0.0;
		
	}
	inline void update(int p,int L,int R,double k) {
		if(L <= l[p] && r[p] <= R) {
			pow[p] += 2.0 * k * sum[p] + (r[p] - l[p] + 1.0) * k * k;
			sum[p] += k * (r[p] - l[p] + 1.0); tag[p] += k;
			return ;
		}
		pushdown(p);
		int mid = (l[p] + r[p]) >> 1;
		if(L <= mid) update(p << 1,L,R,k);
		if(R >  mid) update(p << 1 | 1,L,R,k);
		pushup(p);
	}
	inline double query_sum(int p,int L,int R) {
		if(L <= l[p] && r[p] <= R) return sum[p];
		pushdown(p);
		int mid = (l[p] + r[p]) >> 1; double res = 0.0;
		if(L <= mid) res = query_sum(p << 1,L,R);
		if(R >  mid) res += query_sum(p << 1 | 1,L,R);
		return res;
	}
	inline double query_pow(int p,int L,int R) {
		if(L <= l[p] && r[p] <= R) return pow[p];
		pushdown(p);
		int mid = (l[p] + r[p]) >> 1; double res = 0.0;
		if(L <= mid) res = query_pow(p << 1,L,R);
		if(R >  mid) res += query_pow(p << 1 | 1,L,R);
		return res;
	}
}tr;

#undef M

int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lf",&a[i]);
	tr.build(1,1,n);
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		int opr,x,y; scanf("%d%d%d",&opr,&x,&y);
		if(opr == 1) {
			double k; scanf("%lf",&k);
			tr.update(1,x,y,k);
		}
		else {
			double Sum = tr.query_sum(1,x,y);
			double ave = Sum / (y - x + 1.0);
			if(opr == 2) printf("%.4lf\n",ave);
			else {
				double Pow = tr.query_pow(1,x,y) / (y - x + 1.0);
				printf("%.4lf\n",(Pow - ave * ave));
			}
		}
	}
	return 0;
}

t2代码

把 build 里写错了，调了好久才发现，千万不要犯这种错误。

#include<cstdio>

const int N = 1e5 + 5,mod = 1e9 + 7;

int a[N],n,m;
struct SegmentTree {
	#define M N << 2
	int l[M],r[M],sum[M],pow[M];
	inline void pushup(int p) {
		pow[p] = (1ll * pow[p << 1] + pow[p << 1 | 1]) % mod;
		sum[p] = (1ll * sum[p << 1] + sum[p << 1 | 1]) % mod;
	}
	void build(int p,int lf,int rg) {
		l[p] = lf; r[p] = rg;
		if(lf == rg) {
			sum[p] = a[lf] % mod; pow[p] = 1ll * a[lf] * a[lf] % mod;
			return ;
		}
		int mid = (lf + rg) >> 1;
		build(p << 1,lf,mid);
		build(p << 1 | 1,mid + 1,rg);
		pushup(p);
	}
	void update(int p,int pos,int k) {
		if(l[p] == pos && r[p] == pos) {
			sum[p] = k; pow[p] = 1ll * k * k % mod;
			return ;
		}
		int mid = (l[p] + r[p]) >> 1;
		if(pos <= mid) update(p << 1,pos,k);
		else update(p << 1 | 1,pos,k);
		pushup(p);
	}
	int query_sum(int p,int L,int R) {
		if(L <= l[p] && r[p] <= R) return sum[p];
		int mid = (l[p] + r[p]) >> 1; int res = 0;
		if(L <= mid) res = query_sum(p << 1,L,R) % mod;
		if(R >  mid) res = (1ll * res + query_sum(p << 1 | 1,L,R)) % mod;
		return res;
	}
	int query_pow(int p,int L,int R) {
		if(L <= l[p] && r[p] <= R) return pow[p];
		int mid = (l[p] + r[p]) >> 1; int res = 0;
		if(L <= mid) res = query_pow(p << 1,L,R) % mod;
		if(R >  mid) res = (1ll * res + query_pow(p << 1 | 1,L,R)) % mod;
		return res;
	}
}tr;

#undef M

int power(int a,int b = mod - 2,int ans = 1) {
	for(; b; b >>= 1,a = 1ll * a * a % mod)
		if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % mod;
	return ans;
}

inline int read() {
	int x = 0,flag = 1;
	char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')flag = -1;ch = getchar();}
	while(ch >='0' && ch <='9'){x = (x << 3) + (x << 1) + ch - 48;ch = getchar();}
	return x * flag;
}

int main() {
	n = read(),m = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read();
	tr.build(1,1,n);
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		int opr = read(),x = read(),y = read();
		if(opr == 1) tr.update(1,x,y % mod);
		else {
			int inv = power(y - x + 1);
			int ave = 1ll * tr.query_sum(1,x,y) * inv % mod;
			int Pow = 1ll * tr.query_pow(1,x,y) * inv % mod;
			printf("%d\n",((1ll * Pow - 1ll * ave * ave % mod) % mod + mod) % mod);
		}
	}
	return 0;
}