P3530 [POI2012]FES-Festival

题面

P3530 [POI2012]FES-Festival

题意

在满足给定的条件下，求出赛车手的成绩可能的取值有多少种。

解析

差分约束

不等式关系自然联想到差分约束。

• 对于第一种不等式
  因为给定了相差的值，所以建双向边：

\[dis[i] \leq dis[j] - 1 \]

\[dis[j] \leq dis[i] + 1 \]

通过两个不等式，锁定 \(i,j\) 之间的差值为 \(1\)。

• 对于第二种不等式
  建单向边：

\[dis[i] \leq dis[j] + 0 \]

Floyd

容易发现求赛车手的成绩可能的取值有多少种，其实就是赛车手正整数值域大小的最大值，因为这道题的数据卡了 \(SPFA\)，所以我们只好用 \(Floyd\)，但是因为直接跑，\(n^3=216000000\)，显然会炸，所以我们就想到了缩点。

缩点

容易发现，强联通分量之间是不会相互影响的，所以我们可以在强联通分量内进行 \(Floyd\)，跑最短路后，找出最长路径，也就是最大的值域，而这个值域的大小 = R - L + 1；

缩点后的Floyd

设 \(dis[i][j]\) 表示从\(i\) 到 \(j\) 的最长距离。
在每个阶段开始时，判断进行状态转移的三个点是否在同一个连通块内。

• 对于合法的答案：
  求出 \(dis\) 后，找出每个连通块内的最长路径 \(max_{i}\)，根据上面的分析，每个连通块对答案的贡献为 \(max_{i} + 1\)。
  所以最终的答案就是：

\[\sum_{i = 1} ^{cnt}max_{i} + 1 \]

• 对于不合法的答案：
  如果存在负环，则无解。\(Floyd\) 判负环先初始化 \(dis[i][i] = 0\)，如果存在负环，那么 \(dis[i][i]\) 的值就会被修改，只需要判断 \(dis[i][i]\) 的值是否为 \(0\)就行了。

代码

如果想不吸氧过的话，可以加 \(register\)。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N = 605;
struct edge {
	int next,to;
}a[N << 1];
int head[N],dis[N][N],maxn[N],n,m1,m2,a_size = 1,ans = 0;
inline void add(int u,int v) {
	a[++a_size] = (edge){head[u],v};
	head[u] = a_size;
}
int dfn[N],low[N],sta[N],c[N],top = 0,cnt = 0,num = 0;
bool ins[N];
void tarjan(int x) {
	dfn[x] = low[x] = ++num;
	sta[++top] = x,ins[x] = true;
	for(int i = head[x]; i; i = a[i].next) {
		int y = a[i].to;
		if(!dfn[y]) {
			tarjan(y);
			low[x] = min(low[x],low[y]);
		}
		else if(ins[y])
			low[x] = min(low[x],dfn[y]);
	}
	if(dfn[x] == low[x]) {
		cnt++; int y; do {
			y = sta[top--]; ins[y] = false;
			c[y] = cnt;
		}while(y != x);
	}
}
inline int read() {
	int x = 0,flag = 1;
	char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')flag = -1;ch = getchar();}
	while(ch >='0' && ch <='9'){x = (x << 3) + (x << 1) + ch - 48;ch = getchar();}
	return x * flag;
}
int main() {
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	n = read(),m1 = read(),m2 = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) dis[i][i] = 0;
	for(int i = 1; i <= m1; i++) {
		int u = read(),v = read();
		add(u,v); add(v,u);
		dis[u][v] = min(dis[u][v],-1);
		dis[v][u] = min(dis[v][u],1);
	}
	for(int i = 1; i <= m2; i++) {
		int u = read(),v = read();
		add(u,v);
		dis[u][v] = min(dis[u][v],0);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		if(!dfn[i]) tarjan(i);
	for(int k = 1; k <= n; k++) {
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			if(c[i] != c[k]) continue;
			for(int j = 1; j <= n; j++) {
				if(c[j] != c[i]) continue;
				dis[i][j] = min(dis[i][j],dis[i][k] + dis[k][j]);
			}
		}
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		if(dis[i][i]) {
			puts("NIE");
			return 0;
		}
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= n; j++) {
			if(c[j] != c[i]) continue;
			maxn[c[i]] = max(maxn[c[i]],dis[i][j]);
		}
	}
	for(int i = 1; i <= cnt; i++) ans += maxn[i] + 1;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}