2-SAT 模板题

题面

2-SAT模板题

题目描述

有 \(n\) 个布尔变量 \(x_1\) ~ \(x_n\)，满足 \(m\) 个形如 \(x_i=true/false\) 或 \(x_j=true/false\) 的条件 。

输入

第一行两个整数 \(n\) 和 \(m\)，意义如题面所述。接下来的 \(m\) 行，每行四个整数，\(x,a,y,b\) (\(1\leq x,y\leq n\ \ a,b \in \{0,1\}\))。

输出

无解输出 \(IMPOSSIBLE\)。
有解输出 \(POSSIBLE\)。并输出构造出来的解。
采用 \(Special \ Judge\)。

样例

输入

3 1
1 1 3 0

输出

POSSIBLE
0 0 0

题解

连边

• 定义点 \(x\) 表示\((x-(x>n)*n)=(x>n)\)，也就是：
• 如果点 \(x\leq n\)，则代表第 \(x\) 个数为 \(0\)。
• 如果点 \(x\geq n+1\)，则代表第 \(x-n\) 个数为 \(1\)。
• 定义边 (\(x,y\)) 由 \((x-(x>n)*n)=(x>n)\) 可以推出 \((y-(y>n)*n)=(y>n)\)。

对于条件 (\(x=a||y=b\))，我们可以转化为：

\[x=a\ xor\ 1\rightarrow y=b$$$$y=b\ xor\ 1\rightarrow x=a \]

由此我们就知道了该怎么连边。

add(x + (a ^ 1) * n,y + b * n);
add(y + (b ^ 1) * n,x + a * n);

判无解

于是连完后，我们跑一遍 \(tarjan\)，求出其中的强连通分量，如果 \(x\) 和 \(x+n\) 同处于一个强连通分量内，那么显然无解。原因很显然，这意味着我们从 \(x=0\) 推出了 \(x = 1\)。

构造值

接下来是构造值的问题。
我用的是小蓝书的第二种方法，这里就不赘述原理了。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
using std::min;
const int N = 2e6 + 5;
struct edge {
	int next,to;
}a[N << 1];
int head[N],opp[N],n,m,a_size = 1;
inline void add(int u,int v) {
	a[++a_size] = (edge){head[u],v};
	head[u] = a_size;
}
int dfn[N],low[N],sta[N],c[N],top = 0,cnt = 0,num = 0;
bool ins[N];
void tarjan(int x) {
	dfn[x] = low[x] = ++num;
	sta[++top] = x; ins[x] = true;
	for(int i = head[x]; i; i = a[i].next) {
		int y = a[i].to;
		if(!dfn[y]) {
			tarjan(y);
			low[x] = min(low[x],low[y]);
		}
		else if(ins[y])
			low[x] = min(low[x],dfn[y]); 
	}
	if(dfn[x] == low[x]) {
		int y; cnt++;
		do {
			y = sta[top--]; ins[y] = false;
			c[y] = cnt;
		}while(x != y);
	}
}
inline int read() {
	int x = 0,flag = 1;
	char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-')flag = -1;ch = getchar();}
	while(ch >='0' && ch <='9'){x = (x << 3) + (x << 1) + ch - 48;ch = getchar();}
	return x * flag;
}
int main() {
	n = read(),m = read();
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		int x = read(),a = read(),y = read(),b = read();
		add(x + (a ^ 1) * n,y + b * n);
		add(y + (b ^ 1) * n,x + a * n);
	} n <<= 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		if(!dfn[i]) tarjan(i);
	n >>= 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		if(c[i] == c[i + n]) {puts("IMPOSSIBLE"); return 0;}
	puts("POSSIBLE");
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		printf("%d ",c[i] > c[n + i]);
	return 0;
}