最长公共子序列

一个字符串S，去掉零个或者多个元素所剩下的子串称为S的子序列。最长公共子序列就是寻找两个给定序列的子序列，该子序列在两个序列中以相同的顺序出现，但是不必要是连续的。

例如序列X=ABCBDAB，Y=BDCABA。序列BCA是X和Y的一个公共子序列，但是不是X和Y的最长公共子序列，子序列BCBA是X和Y的一个LCS，序列BDAB也是。

寻找LCS的一种方法是枚举X所有的子序列，然后注意检查是否是Y的子序列，并随时记录发现的最长子序列。假设X有m个元素，则X有2^m个子序列，指数级的时间，对长序列不实际。

使用动态规划求解这个问题，先寻找最优子结构。设X=<x1,x2,…,xm>和Y=<y1,y2,…,yn>为两个序列，LCS(X,Y)表示X和Y的一个最长公共子序列，可以看出

如果xm=yn，则LCS ( X,Y ) = xm + LCS ( Xm-1,Yn-1 )。
如果xm!=yn，则LCS( X,Y )= max{ LCS ( Xm-1, Y ), LCS ( X, Yn-1 ) }
LCS问题也具有重叠子问题性质：为找出X和Y的一个LCS，可能需要找X和Yn-1的一个LCS以及Xm-1和Y的一个LCS。但这两个子问题都包含着找Xm-1和Yn-1的一个LCS，等等.

DP最终处理的还是数值（极值做最优解），找到了最优值，就找到了最优方案；为了找到最长的LCS，我们定义dp[i][j]记录序列LCS的长度，合法状态的初始值为当序列X的长度为0或Y的长度为0，公共子序列LCS长度为0，即dp[i][j]=0，所以用i和j分别表示序列X的长度和序列Y的长度，状态转移方程为

dp[i][j] = 0  如果i=0或j=0
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1  如果X[i-1] = Y[i-1]
dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][j-1] }  如果X[i-1] != Y[i-1]

求出了最长公共子序列的长度后，输出LCS就是输出dp的最优方案了，既可以用一个额外的矩阵存储路径，也可以直接根据状态转移矩阵倒推最优方案。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
    int i, j;
    
    for(i = 0; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for(j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for(i = 1; i<= m; i++){
        for(j = 1; j <= n; j++){

            if(x[i-1] == y[j-1]){
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 0;
            }else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 1;
            }else{
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = -1;
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j)
{
    if(i == 0 || j == 0)
        return;
    if(b[i][j] == 0)
    {
        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
        printf("%c ", x[i-1]);
    }
    else if(b[i][j] == 1)
        PrintLCS(b, x, i-1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j-1);
}

int main(int argc, char **argv)
{
    char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};
    char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m, n;
    
    m = strlen(x);
    n = strlen(y);
    
    LCSLength(x, y, m, n, c, b);
    PrintLCS(b, x, m, n);
    
    return 0;
}

如果不需要输出序列，则可以使用滚动数组的方式

#include <iostream>
using namespace std;
 
//滚动数组 
 
int dp[2][21];  //存储LCS长度 
char X[21];
char Y[21];
int i, j, k;
 
void main()
{
    cin.getline(X,20);
    cin.getline(Y,20);
 
    int xlen = strlen(X);
    int ylen = strlen(Y);
 
    for(i = 1; i <= xlen; ++i)
    {
        k = i & 1;
        for(j = 1; j <= ylen; ++j)
        {
            if(X[i-1] == Y[j-1])
            {
                dp[k][j] = dp[k^1][j-1] + 1;
            }else if(dp[k][j-1] > dp[k^1][j])
            {
                dp[k][j] = dp[k][j-1];
            }else
            {
                dp[k][j] = dp[k^1][j];
            }
        }
    }
    printf("len of LCS is: %d\n", dp[k][ylen]);
}