类欧几里得的一个方法

最近学到了一个牛逼的类欧推导方式,优点是好想好写缺点是常数大...

考虑把那条 \(\frac{ax+b}{c}\) 直线画出来,这条直线碰到一次直线 \(x = a\) 执行一次 \(A\) 操作,碰到一次直线 \(y = b\) 执行一次 \(B\) 操作,形成一个操作序列,这个算法的要求是这个序列可以快速合并(我遇到的题都满足)。

考虑函数 solve(p, q, r, n, A, B) 表示一共有 \(n\)\(B\) 操作,第 \(i\)\(B\) 操作前面共有 \(\lfloor \frac{pi+r}{q} \rfloor\)\(A\) 操作,这样一个序列的答案。

首先 B = A * (p / q) + B, p = p % q, r = r % q\(p\) 的部分正确性显然, \(r\) 的部分等一下再说。

考虑第 \(x\)\(A\) 和在它之后的第 \(y\)\(B\)

\[\begin{aligned} x &\le \lfloor \frac{py+r}{q} \rfloor\\ qx &\le py + r\\ \frac{qx-r}{p} &\le y\\ \lceil \frac{qx-r}{p} \rceil &\le y\\ \lfloor \frac{qx-r+p-1}{p} \rfloor &\le y \end{aligned} \]

于是第 \(i\)\(A\) 前面共有 \(\lfloor \frac{qi-r-1}{p} \rfloor\)\(B\)

这个时候 \(-r - 1\) 是负数不太好搞,我们把它加上 \(q\),然后把第一个 \(A\) 拿出来单独处理(这是之前 r = r % q 的原因),注意最后的 \(B\) 也要特殊处理。

代码:

Solver euclid(LL p, LL q, LL r, LL l, const Solver &a, const Solver &b) {
  r %= q;
  if (!l) {
    return Solver();
  }
  if (p >= q) {
    return euclid(p % q, q, r, l, a, a * (p / q) + b);
  }
  LL m = (p * l + r) / q;
  if (!m) {
    return b * l;
  }
  LL cnt = l - (q * m - r - 1) / p;
  return b * ((q - r - 1) / p) + a + euclid(q, p, q - r - 1, m - 1, b, a) + b * cnt;
}
posted @ 2020-04-19 12:18  sjkmost  阅读(130)  评论(0编辑  收藏  举报