简单数论

这里将会列举一些非常基础的数论知识

0.前置知识

0.1 相关的数学符号

• 数论中常见的符号

  同余符号: \(a\equiv b \pmod m\) 表示a除以m的余数和b除以m的余数相等

  整除符号:\(a\mid b\) 表示\(b \mod a=0\)

  互质符号:\(a\perp b\) 表示a和b是互质的

  最小公倍数:\(lcm(a,b)\) 表示a和b的最小公倍数

  最大公因数:\(gcd(a,b)\) 表示a,b的最大公因数

• 求和/求积符号

  \(\sum_{i=1}^n i\)表示对1到n进行求和

  \(\sum_{i|n} i\)表示对i的所有因数进行求和

  \(\prod_i^n \frac{1}{i^2}\)表示求\(\frac{1}{1^2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{3^2}...\frac{1}{n^2}\)的乘积

  \(\prod_{i|n}i\)表示求n的所有因数的乘积

0.2 常见的函数类别

• 积性函数:定义函数\(f(x)\),若\(a,b\in N^+且a\perp b即gcd(a,b)=1\),此时若\(f(x)\)满足\(f(a*b)=f(a)*f(b)\),则我们称\(f(x)\)为积性函数.

• 完全积性函数:\(定义函数f(x),a,b\in N^+,若此时满足f(a*b)=f(a)*f(b),则我们称f(x)为完全积性函数\)

此时我们不难发现若函数\(f(x)\)是一个完全积性函数,则该函数必然是一个积性函数

1.公因数

这里会介绍一些关于gcd（最大公因数）的基本知识

1.1公因数的定义

\[若\exists x满足xm=a，xn=b（m，n\in Z^+）即x|a,x|b,此时我们称x为a，b的公因数 \]

在公因数中，最大的公因数被称为最大公因数gcd

1.2基本性质

\[gcd(a,b)=gcd(b,a-b) \]

\[gcd(a,b)=gcd(b,a\mod{b}) \]

两个基本性质的证明较为简单，读者可独立证明，或者查阅相关的资料。

（两个基本性质的证明思路大体相同，其核心思想为将文字语言转化为数学符号语言）

1.3 辗转相除法(基本性质二)

其代码为
int gcd(int a,int b){
if(b==0) return a;
if(a%b==0) return b;
return gcd(b,a%b);
}

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2.裴蜀定理(贝祖定理)

\[若a,b\in Z,且其中一项不为0,则必有x，y \in Z,使得 \]

\[ax+by=gcd(a,b) \]

\[特别地，若gcd（a，b）=1，则ax+by=1,且 \]

\[ax+by可以表示任意整数。 \]

裴蜀定理的证明会运用到辗转相除的思想，可能会运用到一定的“数论思想”（瞎编的）。（类似于\(若a，b \in R，则a*b+a-b \in R。\)）

感兴趣的读者可自行查阅资料

3.费马小定理

• 内容：若p为质数，a不是p的倍数，\(gcd（a，p）=1\)，则有\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)

  另一形式:在此基础上,若a为p的倍数,则有\(a^p\equiv a\pmod p\);

• 证明:

4.线性同余方程

定义:形如\(ax\equiv c\pmod b\)的方程,我们称之为线性同余方程(\(x\)为未知数)

• 等价方程

5.欧拉函数

定义欧拉函数\(φ(x)=\sum_{i=1}^n[gcd(i,n)=1]\)([...]表示若括号内的内容为真则取值为1,反之,取值为0)

用文字语言介绍来说,就是\(x\in N^+\),\(φ(x)\)等于,在小于等于x的数中,与x互质的数的个数.

• 性质1
  欧拉函数\(φ(x)\)是积性函数

• 性质2
  \(n=\sum_{d|n}φ(d)\)
  证明:

\[\]