一天一道算法题—2015-10-22(等概率的随机数)

参考文章：
http://blog.csdn.net/a83610312/article/details/11864265
http://www.cnblogs.com/dwdxdy/archive/2012/07/28/2613135.html

 

刚刚笔试完滴滴的题目，有一道题叫做，用一枚硬币随机生成1~3的随机数？？如果硬币不准，该怎么办？

想起一道类似的，叫做: 如果函数random(5)可以等概率的生成1~5之间的随机数，请用random(5)生成random(7)。

!!!原来是智力题，看来我的智商啊！！！被碾压了。。。。

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今天查了一下，原来这个问题是产生等概率的随机数的衍生。

先看原始的：

已知一随机发生器，产生0的概率是p，产生1的概率是1-p，现在要你构造一个发生器，
使得它构造0和1的概率均为1/2

解决方案：

这是随机概率发生器的典型题目。

由于需要产生1/2，而用1位0，或1位1无法产生等概率，因此，考虑将随机数扩展成2位：

00   p*p

01  p*(1-p)

10  (1-p)*p

11 (1-p)*(1-p)

有上述分析知道，01和10是等概率的，因此我们只需要产生01和10就行了。

于是可以，遇到00和11就丢弃，只记录01和10。可以令，01表示0,10表示1，则等概率1/2产生0和1了。

注：这种情况就是当滴滴笔试题中的当硬币不准的时候的情况。

所以：

滴滴题目的解答是：

（1）当硬币准的时候，记做正面为1，反正为0 ，产生的概率都为1/2. 要产生1~3的随机数，

因为都是1/2，所以只需要抛两次硬币. 

00 代表 1 ;  01 代表 2 ,10 代表 3，抛到11则视为无效，重新抛。

缺点：抛 n + 1次（抛至两次硬币算作一次）结束的概率为 （1/4）^n * (3/4)次，n有可能为无限大的值，则进入死循环。

（2）当硬币不准的时候，同样 记做正面为1，反正为0 ，1的概率为p，则0的概率为 1- p

因为不等概，所以需要抛3次硬币。 

产生： 000概率 p*p*p ,  001概率 p*p*(1-p) , 010概率p* p * (1-p) , 011概率p*(1-p)*(1-p) , 100概率p * (1-p)*(1-p) , 101 概率(1-p)*p*(1-p), 110 概率p*p*(1-p) , 111概率 p*p*p

可以发现 001 ,010 ,100的概率是一样的，

所以： 001 代表1 ，010 代表 2,100 代表 3

集合a ={ 001 ： 1， 010 ： 2， 100 ： 3}

抛三次硬币 ，得到 001， 010 ，100中的任一一个就结束，否则继续抛。

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第二种问题：产生随机的整数从 a 到 b

用的基本元素是 random(0,1)，这里的random(0,1)指的是等概率的生成 0 和 1.

分析一下： 其实这里应该是对应的滴滴问题(1)的等概的情况，如果还是用抛至的硬币的方式的话，

抛至的次数为k，则只需要满足  2^k >= (b-a+1)就好了。

如果2^k= (b-a+1), 那么[0,2^k]就可以直接映射到[a,b]了。

但是如果2^k > (b-a-1),则需要截取，就要抛硬币中产生11一样，舍弃重来

int random( int a , int b)
{
     int m = 1; 
　　　int k = 0;
     int len = b - a + 1;
     int i ; 
     while( m < len )
     {
　　　　 k++; 
        m *= 2; 
　　　}
     m = 0;
　　//构造三位二进制 000,001,010...等概率的产生[0,2

^k

]的整数
     for( i = 0 ; i < k ;i++)
     {
　　　　 m += random(0,1) * ( 1 << i );   
　　　}
     if( m+a > len)
     {
　　　　　return random(a,b);
　　　}
     else
     {
　　　　　return m+a;
　　　}
}

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第二种问题的扩展是：一直random5()函数可以等概率产生1到5的整数，求用random5()函数生成random7函数可以等概率的产生1到7的整数

解法一：比较好理解的是利用二维数组的形式

int random7()
{
   int a[5][5] = [
    {1,2,3,4,5},
    {6,7,1,2,3},
    {4,5,6,7,1},
    {2,3,4,5,6},
    {7,0,0,0,0}];
   int i,j;
   int result =  0;
   while( result == 0 )
   {
        int i = random5();
        int j = random5();
        int result =  a[i-1][j-1];
    }
   return result;  
}

解法二：

思路： random5() - 1就是 random(0,4). 将random7看成是求解random(1,7)。

则 底数应该是5， 5^k >= (7-1+1) ,将 [0,24]截取[0,6]，然后映射到[1,7]

int random7()
{
   int k = 0 ; 
   int m = 1;
   int len = 7;
   int i = 0;
   while( m < len )  
   {
       k++;
       m *= 2 ;
    }
    m = 0;
    for( i ; i < k; i++)
    {
        m += ( random5() - 1 ) * pow(5,i) ; 
    }
    if( m+1 > len )
   {
       return random7();
    }
    else
   {
       return m+1;
    }
}