映射

映射的概念

　　设$X$，$Y$是集合，若$\forall x \in X$，$\exists$唯一的$y \in Y$，使得$f:x \to y$

则称$f$为$X$到$Y$的一个映射，记$y=f(x)$

　　对于$f:X \to Y$
　　　　$f:$对应法则(Rule)
　　　　$D_f=X:$定义域(Domain)
　　　　$R_f=f(X)=\{f(x) |x \in X \}$：值域(Range)

映射的类型

　　满映射(满射)　　

　　　　$\forall y \in Y$，$\exists x \in X \Longrightarrow f(x)=y$
　　　　$Y$中每一个元素都是映射$f$的像

　　非满射

　　　　$\exists y \in Y \forall x \in X \Longrightarrow y \neq f(x)$

　　　　通俗的将，一个教室，每一个座位都有同学，则同学到座位的映射就是满射，如果有些座位没有同学，则同学到座位的映射就是非满射

单映射(单射)
　　$\forall a，b \in X a \neq b \Longrightarrow f(a) \neq f(b)$
　　就是不同的元素有不同的像，不同的同学有不同的座位
非单射
　　$\exists a，b \in X a \neq b \Longrightarrow f(a) = f(b)$
　　至少存在两个不同的元素有相同的像，不同的同学坐在相同的座位

一一映射(双射)
　　既是单射有是满射的映射，称为双射或一一映射
　　不同的同学有不同的学号

单射很重要
　　每一个单射可以诱导一个双射
　　若$f:X \to Y$是单射，则$f:X \to f(X)$是双射

每一个单射都可以诱导逆映射(反函数)
若$f:X \to Y$是单映射，则$f:X \to Y$可逆
逆映射$f^-1：f(x) \to X$

$\forall y \in f(X)$，$\exists$唯一的$x \in X f(x)=y \Longrightarrow f^-1:\to x$

逆映射

　　$f^-1:y \to x$
　　$x = f^-1(y)$
　　$y=f(x)$