对称矩阵，正定矩阵的性质

对称矩阵\(A\)的性质:

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1. 如果\(A\) 是对称矩阵且可逆，即\(A^{-1}\)存在，且\(A=A^T\),则 \(A^{-1}\)也是对称矩阵。

Proof

首先证明 \((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\).
根据可逆矩阵的定义，如果矩阵满足\(M\cdot N=I\), 则说明两个矩阵互为可逆矩阵，矩阵\(M\)为矩阵\(N\)的逆矩阵，即\(M=N^{-1}\)，矩阵\(N\)为矩阵\(M\)的逆矩阵,即\(N=M^{-1}\).

此外，矩阵的转置性质：\((M\cdot N)^T=N^T\cdot M^T\).

\(I=A^{-1}A=(A^{-1}A)^T=A^T (A^{-1})^T,\) 可见\(A^T\)与\((A^{-1})^T\)互为可逆，所以\((A^{-1})^T\)可以写为\((A^T)^{-1}\).

其次需要证明\(A^{-1}=(A^{-1})^T.\)