拓展欧几里得和同余方程：OI数论(2)

1.同余

定义：若整数\(a\)和整数\(b\)除以正整数\(m\)的余数相同，则称\(a\)，\(b\)模\(m\)同余
记为\(a\equiv b\pmod{m}\)

2.两个有用的定理

费马小定理:若\(p\)为质数，则对于任意整数\(a\)，有\(a^p \equiv a \pmod{p}\)

欧拉定理:若正整数\(a\)和\(n\)互质，则\(a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}\)

感兴趣的读者可以自行搜索相关定理的证明，笔者在此不提供

3.拓展欧几里得算法

还是先给一个定理

裴蜀定理：对于任意整数\(a,b\)，存在一对整数\(x,y\)满足\(ax+by=gcd(a,b)\)

为了方便大家理解下面的知识，在此简要给出它的证明：
\(考虑对这对整数a,b做欧几里得算法gcd\)
\(在欧几里得算法最后一步，b=0，显然存在x=1,y=0使得a*1+b*0=gcd(a,0)\)
\(对于b>0,gcd(a,b)=gcd(b,a \bmod b)。如果对于b,a\bmod b存在了一对整数x,y使得b*x+(a\bmod b)*y=gcd(b,a\bmod b)\)
\(由于bx+(a\bmod b)y=bx+(a-b \left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor)y=ay+b(x-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y)\)
\(我们令x'=y,y'=x-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y，就得到了一对整数x',y'使得ax'+by'=gcd(a,b)\)
总结一下，整个思路是在欧几里得算法的递归过程中利用数学归纳法得出来的，所以我们如果要计算这一对\(x,y\),就可以利用欧几里得算法进行计算
这个算法被称为拓展欧几里得算法

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0){ x=1,y=0; return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;
    x=y,y=z-(a/b)*y;
    return d;
}

利用函数传地址，拓展欧几里得同时得到了两个数的gcd和整数对\(x,y\)

4.更加一般的情况？

对于更加一般的方程\(ax+by=c\)来说，它有解当且仅当\(gcd(a,b)|c\)
我们要解这个方程，只要首先解出\(ax+by=d(令gcd(a,b)=d)\)的一组解\(x_0,y_0\)，然后再把这组解乘上\(c/d\)就得到了原方程的一组解

5.乘法逆元

我们知道，在取模时加法减法和乘法的取模都是自由的，而除法却不行，导致在一些计数问题中我们无法很好地取模导致精度无法承受，
这时就要想一些方法使得取模变得自由，乘法逆元就是这个方法

乘法逆元的定义:若整数\(b,m\)互质，且\(b|a\),则存在整数\(x\)，使得\(a/b \equiv a*x \pmod {m}\),我们称\(x\)为\(b\)的模\(m\)乘法逆元，记为\(b^{-1}\pmod{m}\)

如果\(a/b \equiv a*b^{-1} \equiv a/b*b*b^{-1} \bmod{m}\)，因此\(b*b^{-1} \equiv 1 (\bmod {m})\)
当\(m\)为质数的时候，并且\(b<m\)，根据费马小定理，\(b^{-1} \equiv 1 (\bmod {m})\)，即\(b*b^{m-2} \equiv 1(\bmod {m})\)
因此，当模数\(m\)为质数的时候，\(b^(p-2)\)即为\(b\)的逆元

当然对于更一般的情况，即仅仅是\(b,m\)互质的时候，需要求解同余方程\(b*x\equiv 1(\bmod{m})\)来得到，这个的解法我们后面再说

貌似知识点讲的太多了，我们来说一道例题