罪恶的开始——线性DP学习

线性DP虽然是被称为DP的入门，其实它是DP的万恶之源，一切其它DP不过是在它上面加入优化

接下来给几个例题，可以让你深刻感受到DP状态设计的恶心

T1.[LuoguP4310]绝世好题

这题很多人第一眼看到会想到设计一个 \(f[i]\)代表以\(i\)为结尾的序列最大长度是多少，转移方程
显而易见是\(f[i]=f[j]+1 (1 \leq j<i,a[j]\) & $a[i]=1) $

然而，在\(1\leq n\leq 100000\)这样的数据面前，这个\(n^2\)做法显而易见是会T掉的当然了你还可以骗到90分

显然，在这个状态下，我们无法继续对转移进行优化，为了降低复杂度，需要尝试换一个状态的设计

设\(f[i][j]\)到\(i\)个数为止为二进制下第\(j\)位为\(1\)的数组成的序列的最长长度

稍微推推转移方程，我们发现，\(f[i][j]\)只和\(f[i-1][j]\)有关，所以第一维直接省略了

设\(f[i]\)为二进制下第\(i\)位为\(1\)的数组成的序列的最长长度

我们每次读入一个数，都可以实时更新。转移具体可以看代码，应该不难理解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
    char ch=getchar();
    int s=0,f=1;
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())
        if(ch=='-')
            s*=-1;
    for(; isdigit(ch);ch=getchar())
        s*=10,s+=ch-'0';
    return s*f;
}
int n,ans;
int f[100];
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=30;i++) f[i]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int maxn=1;
        int x=read(),y=x;
        int sw=0;
        while(y) //对输入的数的二进制一位一位检查，第sw位为1的话就可以更新答案了
        {
            sw++;
            if(y&1==1) maxn=max(maxn,f[sw]+1);
            y>>=1;
        }
        y=x;
        sw=0;
        while(y)//更新一下f数组方便以后用
        {
            sw++;
            if(y&1==1) f[sw]=max(f[sw],maxn);
            y>>=1;
        }
        ans=max(ans,maxn);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

[Luogu P1944]最长括号匹配

这题很容易就可以看出是使用线性DP解决的，不难设计\(f[i]\)代表以第\(i\)个字符为结尾的字符串可以得到的最长匹配序列

但是，转移方程有点难想

分两个情况

1.当前字符为 (或 [，那么\(f[i]=0\)

2.当前字符为右括号，那么我们可以尝试和前面的状态转移，事实上只要先考虑\(i-1-f[i-1]\)(即以\(i-1\)个字符为结尾的匹配完的串的前面一个)
这个可以理解为在前一个序列外面再套一组括号。然而没有结束，我们要再加上\(i-1-f[i-1]-1\)(即以这个合法序列开头前一个字符为结尾的合法序列的长度)，可以理解为在一个完整的序列后面再接一个合法序列

(忘说了，2中没有无法匹配的话就\(f[i]=0\))

最后转移方程\(f[i]=f[i-1]+f[i-1-f[i-1]-1]+2\)

贴码了

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
    char ch=getchar();
    int s=0,f=1;
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())
        if(ch=='-')
            f*=-1;
    for(; isdigit(ch);ch=getchar())
        s*=10,s+=ch-'0';
    return s*f;
}
const int N=1000010;
int n,f[N];
char st[N];
bool match(int a,int b)
{
    if(st[b]==')' && st[a]=='(') return 1;
    if(st[b]==']' && st[a]=='[') return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    cin>>st;
    n=strlen(st);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(st[i]=='(' || st[i]=='[') continue;
        if(match(i-1-f[i-1],i)) f[i]=f[i-1]+2;
    }
    int ans=0,wj;
    for(int i=1;i<n;i++) 
    	if(f[i]>ans)
    		ans=f[i],wj=i;
    for(int i=wj-f[wj]+1;i<=wj;i++)
    	cout<<st[i];
    cout<<endl;
    return 0;
}