摘要：引言 一组线性无关的向量可以张成一个向量子空间，比如向量$\overrightarrow{e_1} = \left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix} \right]$和$\overrightarrow{e_2} = \left[ \begin{matrix} 1 阅读全文

摘要：引言 上一篇笔记中已经记录了，如何对一个无解的线性方程组$Ax=b$求近似解。在这里，我们先来回顾两个知识点： 1. 如何判断一个线性方程组无解：如果拿上面那个方程组$Ax=b$举例，那就是向量$b$不在矩阵A对应的列空间中，至于列空间的概念，可以参考 那篇笔记 2. 如何对无解的方程组求近似解：根 阅读全文

摘要：矩阵A一共对应着4个基本子空间，分别是列空间、行空间、零空间以及左零空间 行空间 设一m行n列实元素矩阵为$A$(mxn),则其行空间(Row Space)是由矩阵A的所有行向量所生成的$R^n$上的子空间，记作$C(A^{\mathrm{T}})$或$R(A)$。其中，矩阵$A^{\mathrm{ 阅读全文

摘要：引言 一般的课本上都会告诉我们判断两个向量是否正交可以通过它们的点积为0判断，那么到底为什么？ 向量 一个向量是有方向和长度的，我们记向量$\overrightarrow{a}$的长度为$\left\|a\right\|$，也叫向量的长度为模。那么向量的模是怎么计算的：$$ \left\|a\rig 阅读全文

摘要：引言 想一下，在什么情况下可能需要将一个向量往一个子空间投影。在MIT的线代课程中，Gilbert教授给出了一种场景：即我们想要求解$Ax=b$，但是$b$不在$A$的列空间中，此时我们希望在$A$的列空间中找一个离$\overrightarrow{b}$最近的向量$\overrightarrow{ 阅读全文