抽象代数入门笔记

本博客基于《抽象代数基础（第二版）》（丘维声）和《代数学方法一：基础架构》所作。基本只有定义和定理，以及定理的证明，不推荐通过本博客学习抽象代数。

由于本人没有接受过系统的抽象代数课程学习，所以有些定理的命名会很抽象，并且和数学界对其的称呼完全不一致，大概率仅适用于本文。

群论

基本定义

代数结构

给出一个集合 \(A\) 和定义在集合 \(A\) 上的一个运算 \(\circ\)。如果 \(A\) 与 \(\circ\) 满足以下定律：

• \(\forall a,b \in A :a \circ b \in A\)（完备性）

则称二元组 \(\langle A,\circ \rangle\) 为代数结构。也就是一个运算和一个对它完备的集合的二元组。

半群

给出一个集合 \(A\) 和定义在集合 \(A\) 上的一个运算 \(\circ\)。如果 \(A\) 与 \(\circ\) 满足以下定律：

• \(\forall a,b \in A :a \circ b \in A\)（完备性）
• \(\forall a,b,c \in A:(a \circ b) \circ c=a \circ (b \circ c)\)（结合律）

则称二元组 \(\langle A,\circ \rangle\) 为半群。也就是一个满足结合律的运算和一个对它完备的集合的二元组。

幺半群

给出一个集合 \(A\) 和定义在集合 \(A\) 上的一个运算 \(\circ\)。如果 \(A\) 与 \(\circ\) 满足以下定律：

• \(\langle A,\circ \rangle\) 为半群
• \(\exists e \in A:\forall a \in A:e \circ a = a \circ e = a\)（幺元存在性）

此时称二元组 \(\langle A,\circ \rangle\) 为幺半群。称上面的 \(e\) 为幺元（单位元）。

群

给出一个集合 \(A\) 和定义在集合 \(A\) 上的一个运算 \(\circ\)。如果 \(A\) 与 \(\circ\) 满足以下定律：

• \(\langle A,\circ \rangle\) 为幺半群
• \(e\) 为 \(\langle A,\circ \rangle\) 的单位元，则 \(\forall a \in A:\exists b \in A:a \circ b = b \circ a=e\)（逆元存在性）

此时称二元组 \(\langle A,\circ \rangle\) 为群，称上面的 \(b\) 为 \(a\) 的逆元，记作 \(b=a^{-1}\)。
通常我们记 \(a^1=a\)，\(a^{n}=a^{n-1} \circ a=a^{n+1} \circ a^{-1}(n\in \Z)\)，\(a^0=e,ab=a\circ b\)。
通常我们会把群 \(G\) 中的集合直接记作 \(G\)。

不难证明：

• \(\exists! e \in A\)：\(e\) 是单位元（单位元唯一）
• \(\forall a:\exists! b=a^{-1}\)（逆元唯一）
• \((a^{-1})^{-1}=a\)（逆逆得正）
• \(ab=ac\iff b=c\)（消去律）
• \(\forall n,m\in\Z:a^na^m=a^{n+m}\)（乘幂化加）
• \(\forall n,m\in\Z:(a^n)^m=a^{nm}\)（幂幂化乘）

以下是上述定理的证明（没完全按照顺序）：

---

\(\exists! e \in A\)：\(e\) 是单位元
\(\text{Proof:}\)
假设 \(e_{1},e_{2}\) 为单位元，且 \(e_{1}\neq e_{2}\)
则 \(e_{1}e_{2}=e_{1}\)（单位元定义）
\(e_{1}e_{2}=e_{2}\)（单位元定义）
那么就有 \(e_{1}=e_{2}\)（等号传递性、对称性），矛盾
所以单位元唯一
Q.E.D.

---

\(\forall a:\exists! b=a^{-1}\)
\(\text{Proof:}\)
假设 \(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1}\) 为 \(a\) 的逆元，且 \(a_{1}^{-1}\neq a_{2}^{-1}\)
则 \(a_{1}^{-1}aa_2^{-1}=(a_{1}^{-1}a)a_2^{-1}=ea_2^{-1}\)（逆元定义）\(=a_2^{-1}\)（单位元定义）
\(a_{1}^{-1}aa_2^{-1}=a_{1}^{-1}(aa_2^{-1})=a_1^{-1}e\)（逆元定义）\(=a_1^{-1}\)（单位元定义）
那么就有 \(a_1^{-1}=a_2^{-1}\)（等号传递性、对称性），矛盾
所以逆元唯一
Q.E.D.

---

\((a^{-1})^{-1}=a\)
\(\text{Proof:}\)
\((a^{-1})^{-1}a^{-1}=e\)（逆元定义）\(\Rarr a=ea\)（单位元定义）\(=(a^{-1})^{-1}a^{-1}a\)（等号定义）\(=(a^{-1})^{-1}(a^{-1}a)\)（结合律）\(=(a^{-1})^{-1}e\)（逆元定义）\(=(a^{-1})^{-1}\)（单位元定义）\(\Rarr (a^{-1})^{-1}=a\)（等号对称性）
Q.E.D.

---

\(ab=ac\iff b=c\)
\(\text{Proof:}\)
\(1.b=c\Rarr ab=ac\)（等号定义）
\(2.ab=ac\Rarr b=c:\)
\(ab=ac\Rarr a^{-1}ab=a^{-1}ac\)（等号定义）\(\Rarr (a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c\)（结合律）\(\Rarr eb=ec\)（逆元定义）\(\Rarr b=c\)（单位元定义）
综上，\(ab=ac\iff b=c\)
Q.E.D.

---

\(\forall n,m\in\Z:a^na^m=a^{n+m}\)
\(\text{Proof:}\)
进行分类讨论：
若 \(m\ge 0\)：
\(a^na^0=a^ne\)（幂的定义）\(=a^n\)（单位元性质）\(=a^{n+0}\)
假设对于 \(m=x\)，已有 \(a^na^m=a^{n+m}\)
则 \(a^na^{x+1}=a^na^xa\)（幂的定义）\(=(a^na^x)a\)（结合律）\(=a^{n+x}a\)（假设内容）\(=a^{n+x+1}\)（幂的定义）
即对于 \(m=x+1\)，也一定有 \(a^na^m=a^{n+m}\)
数学归纳得：\(\forall n\in\Z,m\in\N:a^na^m=a^{n+m}\)（数学归纳法/Peano 第五公理）
若 \(m<0\)
证 \(\forall n\in\Z,m\in[-\infin,0]\cap\Z:a^{n}a^m=a^{n+m}\) 即可。
\(m=0\) 时已证明
假设 \(m=x\) 时已有 \(a^na^m=a^{n+m}\)
则 \(a^na^{x-1}=a^na^xa^{-1}\)(幂的定义)\(=a^{n+x}a^{-1}\)（假设内容）\(=a^{n+x-1}\)（幂的定义）
即对于 \(m=x-1\)，也一定有 \(a^na^m=a^{n+m}\)
数学归纳得：\(\forall n\in\Z,m\in[-\infin,0]\cap\Z:a^na^m=a^{n+m}\)
综上：
\(\forall n\in\Z,m\in\Z:a^na^m=a^{n+m}\)
Q.E.D.

---

\(\forall n,m\in\Z:(a^n)^m=a^{nm}\)
\(\text{Proof:}\)

引理一：\(\forall n\in\Z:(a^n)^{-1}=a^{-n}\)
引理一证明：
即证 \(a^{-n}a^n=e\)（逆元定义）
当 \(n=0\) 时，\(a^0a^0=ee\)（幂的定义）\(=e\)（单位元定义）
假设对于 \(n=x\)，已有 \(a^{-n}a^n=e\)
则 \(a^{-x-1}a^{x+1}=a^{-1-x}a^{x+1}=a^{-1}a^{-x}a^xa\)（乘幂化加）\(=a^{-1}(a^{-x}a^x)a\)（结合律）\(=a^{-1}ea\)（假设内容）\(=a^{-1}a\)（单位元定义）\(=e\)（逆元定义）
也有 \(a^{-(x-1)}a^{x-1}=a^{1-x}a^{x-1}=aa^{-x}a^xa^{-1}\)（乘幂化加）\(=a(a^{-x}a^x)a^{-1}\)（结合律）\(=aea^{-1}\)（假设内容）\(=aa^{-1}\)（单位元定义）\(=e\)（逆元定义）
即对于 \(n=x+1\) 和 \(n=x-1\)，也一定有 \(a^{-n}a^n=e\)
对正负两方向分别进行数学归纳得：\(\forall n\in\Z:a^{-n}a^n=e\Rarr \forall n\in\Z:(a^n)^{-1}=a^{-n}\)
Q.E.D.

\((a^n)^0=e\)（幂的定义）\(=a^0\)（幂的定义）\(=a^{n0}\)
假设对于 \(m=x\)，已有 \((a^n)^m=a^{nm}\)
则 \((a^n)^{x+1}=(a^n)^xa^n\)（幂的定义）\(=a^{nx}a^n\)（假设内容）\(=a^{nx+n}\)（乘幂化加）\(=a^{n(x+1)}\)
也有 \((a^n)^{x-1}=(a^n)^x(a^n)^{-1}\)（幂的定义）\(=a^{nx}(a^n)^{-1}\)（假设内容）\(=a^{nx}a^{-n}\)（引理一）\(=a^{nx-n}\)（乘幂化加）\(=a^{n(x-1)}\)
即对于 \(m=x+1\) 和 \(m=x-1\)，也一定有 \((a^n)^m=a^{nm}\)
对正负两方向分别进行数学归纳得：\(\forall n,m\in\Z:(a^n)^m=a^{nm}\)
Q.E.D.

Abel 群

给出一个集合 \(A\) 和定义在集合 \(A\) 上的一个运算 \(\circ\)。如果 \(A\) 与 \(\circ\) 满足以下定律：

• \(\langle A,\circ \rangle\) 为群
• \(\forall a,b \in A,a \circ b=b \circ a\)。

此时称二元组 \(\langle A,\circ \rangle\) 为 Abel 群（交换群/Abel Group），也就是有交换律的群。

一些特殊的群

• 图形的所有对称变换组成的集合与映射乘法构成一个群，称作该图形的对称性群
• \(\Z\) 对于加法构成一个群，称为整数加群
• \(\R\) 对于加法构成一个群，称为实数加群
• \(\R^+\) 对于乘法构成一个群
• \(\Complex\) 中所有的 \(n\) 次单位根对于乘法构成一个群，称为 \(n\) 次单位根群，记作 \(U_n\)
• 正 \(n\) 边形的对称性群称为二面体群，记作 \(D_n(n\in\N,n\ge 3)\)
• 所有 \(n\) 级可逆矩阵构成的集合对于矩阵乘法构成一个群，称作 \(n\) 级一般线性群，记作 \(GL_n(F)\)，其中 \(F\) 是矩阵基于的域（见域论）
• 所有行列式为 \(1\) 的 \(n\) 级矩阵构成的集合对于矩阵乘法构成一个群，称作 \(n\) 级特殊线性群，记作 \(SL_n(F)\)
• 实数域上所有 \(n\) 级正交矩阵（保持向量长度与向量间的夹角不变的变换对应的矩阵，满足 \(A^T=A^{-1}\)，且 \(\det A=\pm 1\)）构成的集合对于矩阵乘法构成一个群，称作 \(n\) 级正交群，记作 \(O_n\)
• 所有行列式为 \(1\) 的 \(n\) 级正交矩阵（即旋转矩阵）构成的集合对于矩阵乘法构成一个群，称作 \(n\) 级特殊正交群，记作 \(SO_n\)
• 上面这些和矩阵有关的都是 MatrixGroup 姐姐，可爱！

二面体群、循环群、置换群

群的阶

即群中集合的势。对于群 \(G=\langle A,\circ\rangle\)，\(|G|\overset{def}{=}|A|\)。若 \(|G|=\infin\)，则称 \(G\) 为无限群；否则称 \(G\) 为有限群。

生成元

若对于一个集合 \(S=\{s_i:i\in I\}\)，满足 \(G=\{\prod_{i\in I}s_i^{x_i}:x_i\in\Z\}\)，则称 \(S\) 是 \(G\) 的生成元集，其中所有元素称为 \(G\) 的生成元。通常记 \(G=\langle S\rangle\)，也可以记 \(G=\langle s_i:i\in I\rangle\)。

二面体群

正 \(n\) 边形的对称性群被称作二面体群，记作 \(D_n(n\ge 3)\)。显然，\(D_n=\langle \sigma,\tau\rangle\)，其中 \(\sigma\) 是将正 \(n\) 边形旋转 \(\frac{2\pi}{n}\) 的操作，\(\tau\) 为将正 \(n\) 边形沿一条对称轴做反射的操作。显然，有如下性质：

\(\tau^2=\sigma^n=e\)（定理 1.2.3.1）

\(\tau^{-1}=\tau\)（定理 1.2.3.2）

\(\tau\sigma\tau=\sigma^{-1}\)（定理 1.2.3.3）

\(\forall i,j\in[1,n]\cap\N:i\neq j\Rarr \sigma^i\neq \sigma^j\)（定理 1.2.3.4）（即 \(\sigma^i(i\in[1,n]\cap\N)\) 两两互不相同）

\(\sigma^{n-1}=\sigma^{-1}\)（定理 1.2.3.5）

由于我们知道 \(\sigma\tau=e\sigma\tau=(\tau^{-1}\tau)\sigma\tau=\tau^{-1}(\tau\sigma\tau)=\tau^{-1}\sigma^{-1}\)（定理 1.2.3.3）\(=\tau\sigma^{-1}\)（定理 1.2.3.2）\(=\tau\sigma^{n-1}\)（定理 1.2.3.5）。又 \(\sigma^{n-1}\neq\sigma\)（定理 1.2.3.4），所以 \(\tau\sigma^{n-1}\neq\tau\sigma\)，所以 \(\sigma\tau\neq\tau\sigma\)，所以 \(D_n\) 不是 Abel 群。

群元素的阶

若 \(g\in G,n\in \N^+\) 满足 \(g^n=e\) 且 \(\forall i \in [1,n-1]\cap\N:g^i\neq e\)，那么就称 \(n\) 为 \(g\) 的阶，记作 \(|g|=n\)。若 \(\forall n\in\N^+:g^n\neq e\)，则称 \(g\) 为无穷阶元素，记作 \(|g|=\infin\)。容易推得：

\(g^{-1}=g^{|g|-1}(|g|\neq\infin)\)（定理 1.2.4.1）

\(\forall i,j\in[1,+|g|]\cap\N:i\neq j\Rarr g^i\neq g^j\)（定理 1.2.4.2）（即在该范围内 \(g^i\) 互不相同）

\(|g|=n\in\Z\Rarr\forall t,r\in\Z:g^{tn+r}=g^r\)（定理 1.2.4.3）（即幂对阶取余后相同）

\(g^k=e\iff n\mid k(n=|g|)\)（定理 1.2.4.4）

证明如下：

\(g^{-1}=g^{|g|-1}(|g|\neq\infin)\)
\(\text{Proof:}\)
\(g^{|g|-1}g=g^{|g|}=e\)（阶的定义）\(\Rarr g^{|g|-1}gg^{-1}=eg^{-1}\Rarr g^{|g|-1}=g^{-1}\)
Q.E.D.

---

\(\forall i,j\in[1,+|g|]\cap\N:i\neq j\Rarr g^i\neq g^j\)
\(\text{Proof:}\)
对于 \(i,j\in[1,+|g|]\cap\N\) 且 \(i\neq j\)
假设 \(g^i=g^j\)
不妨设 \(i>j\)
则 \(g^ig^{-j}=g^jg^{-j}=e\Rarr g^{i-j}=e\)（乘幂化加）
又 \(i-j\in\N^+\)
所以 \(i-j\ge |g|\)（阶的定义）
但 \(i\le |g|,j>0\Rarr i-j<|g|\)，矛盾
故假设不成立
故 \(g^i\neq g^j\)
Q.E.D.

注意到我们在证明中没有对 \(|g|\) 进行任何运算，仅利用了关于 \(|g|\) 的偏序关系，所以此处 \(|g|\) 并不要求是正整数，也可以是无穷

---

\(|g|=n\in\Z\Rarr\forall t,r\in\Z:g^{tn+r}=g^r\)
\(\text{Proof:}\)
\(g^{tn+r}=g^{tn}g^r\)（乘幂化加）\(=g^{nt}g^r=(g^n)^tg^r\)（幂幂化乘）\(=e^tg^r\)（阶的定义）\(=(g^0)^tg^r\)（幂的定义）\(=g^{0t}g^r\)（幂幂化乘）\(=g^0g^r=eg^r\)（幂的定义）\(=g^r\)（单位元定义）
Q.E.D.

不难发现在定理 1.2.4.3 的证明中我们实际上证明了：

\(\forall n\in\Z:e^n=e\)（单位元幂等）

---

\(g^k=e\iff n\mid k(n=|g|)\)
\(\text{Proof:}\)
\(1.n\mid k\Rarr\exists d\in\Z:k=nd\Rarr g^k=g^{nd}=(g^n)^d\)（幂幂化乘）\(=e^d\)（阶的定义）\(=e\)（单位元幂等）
\(2.g^k=e\)
假设 \(n\nmid k\)，则可设 \(k=dn+l(d\in\Z,l\in[1,n-1]\cap\N)\)
即有 \(g^{dn+l}=e\Rarr g^{nd}g^l=e\)（乘幂化加）\(\Rarr (g^n)^dg^l=e\)（幂幂化乘）\(\Rarr e^dg^l=e\)（阶的定义）\(\Rarr eg^l=e\)（单位元幂等）\(\Rarr g^l=e\)（单位元定义）
但是 \(\forall i \in [1,n-1]\cap\N:g^i\neq e\)（阶的定义）与 \(l\in[1,n-1]\cap\N:g^l=e\) 矛盾
所以假设不成立
所以 \(n\mid k\)
综上，\(g^k=e\iff n\mid k(n=|g|)\)
Q.E.D.

那么我们可以运用该定义重新描述定理 1.2.3.1、定理 1.2.3.4。即 \(|\sigma|=n,|\tau|=2\)。

对于群元素的阶的详细展开，将在子群部分进行。

---

循环群

若 \(\exists a\in G:G=\langle a\rangle\)，则称 \(G\) 为循环群。显然，\(\Z_m\)（模 \(m\) 剩余的加法群）、\(\Z\)（整数加法群）、\(U_n\) 都是循环群。

由生成元的定义易知：\(\forall g\in G=\langle a\rangle:\exists x\in\Z:a^x=g\)。

如果 \(G=\langle a\rangle\)，则必然有 \(|G|=|a|\)。形式化的：

\(G=\langle a\rangle\Rarr |G|=|a|\)（定理 1.2.5.1）

\(G=\langle a\rangle\Rarr |G|=|a|\)
\(\text{Proof:}\)
分类讨论
若 \(|G|=\infin\)
假设 \(|a|\neq\infin\)
则可设 \(|a|=n(n\in\N^+)\)
则有 \(a^n=e\)（阶的定义）
又 \(G=\langle a\rangle\Rarr G=\{a^k:k\in\Z\}\)（生成元定义）
令 \(S:=\{a^k:k\in[1,n]\cap\N\}\)，则 \(|S|=n\)（定理 1.2.4.2）
\(\forall a^k\in G:\) 设 \(k=dn+l(d\in\Z,l\in[1,n]\cap\N)\)，则 \(a^k=a^{dn+l}=a^{dn}a^l=(a^n)^da^l=e^da^l=ea^l=a^l\)
又 \(l\in[1,n]\cap\N\)，所以 \(a^l\in S\Rarr a^k\in S\)
所以就是 \(\forall g\in G:g\in S\)
可推得 \(G\subseteq S\Rarr|G|\le|S|\)
然而 \(G\) 的势是无穷大，\(S\) 的势是一个正整数，显然不可能
所以假设不成立
所以 \(|a|=\infin\)

若 \(|G|\in\N\)
假设 \(|a|=\infin\)
则 \(\forall i,j\in[1,+\infin]\cap\N=\N^+:i\neq j\Rarr g^i\neq g^j\)（定理 1.2.4.2）
又 \(G=\langle a\rangle=\{a^k:k\in\Z\}\)
则 \(|G|=|\{a^k:k\in\Z\}|=\infin\)，矛盾，故假设不成立
所以 \(|a|\neq\infin\)
故可设 \(|a|=n\in\N^+\)
令 \(S:=\{a^k:k\in[1,n]\cap\N\}\)，则 \(|S|=n\)（定理 1.2.4.2）
\(\forall a^k\in G:\) 设 \(k=dn+l(d\in\Z,l\in[1,n]\cap\N)\)，则 \(a^k=a^{dn+l}=a^{dn}a^l=(a^n)^da^l=e^da^l=ea^l=a^l\)
又 \(l\in[1,n]\cap\N\)，所以 \(a^l\in S\Rarr a^k\in S\)
所以就是 \(\forall g\in G:g\in S\)
可推得 \(G\subseteq S\)
又 \(S=\{a^k:k\in[1,n]\cap\N\}\)
\(G=\{a^k:k\in\Z\}\)
所以 \(S\subseteq G\)
所以 \(S=G\)
所以 \(|S|=|G|\Rarr|G|=n\Rarr|G|=|a|\)

综上，\(G=\langle a\rangle\Rarr |G|=|a|\)
Q.E.D.

其实这是充分必要条件，但暂时不予证明

从上述的证明中，我们可以看出反证法在抽象代数（事实上，几乎所有数学）中有着重要地位。反证法的核心原理是利用 \(\Rarr\) 的真值表：有且只有伪命题可以推出任意命题，无论命题真伪。所以我们可以通过这一点证伪原命题的逆否命题来证明原命题。需要注意的是取逆否命题时 \(\exists\) 和 \(\forall\) 需要互换。虽然这很显然，但经常被忽略。

---

置换群与变换群

置换群与变换群是所有群中最为重要的群，它们代表的是群这一结构的抽象的本质，这一本质将在群作用相关章节中的 Cayley 定理中得到揭示。

如果我们要讨论置换群与变换群，那么我们就要先讨论它们中的元素——置换与变换。实际上，置换与变换几乎是没有区别的。

置换：

\(n\) 元置换被定义为一个 \(A\to A\) 的双射，其中 \(A\) 为 \(1\sim n\) 的排列（即 \([1,n]\cap\N\)）。一个置换 \(\sigma\) 通常可以记作如下形式：\(\begin{pmatrix}1 & 2 & 3&\cdots&n \\ \sigma(1)&\sigma(2)&\sigma(3)&\cdots&\sigma(n)\end{pmatrix}\)。

置换的乘法被定义为映射的乘法。即对于置换 \(\sigma\) 和 \(\tau\)，有 \(\sigma\tau:A\to A,i\mapsto \sigma(\tau(i))\)。

显然，\(n\) 元置换与 \(n\) 元置换的乘积还是一个 \(n\) 元置换。证明如下：

\(\text{Proof:}\)
即证 \(\sigma\tau\) 是 \(A\to A\) 的双射
又 \(\sigma\tau:A\to A,i\mapsto\sigma(\tau(i))\)
因为 \(\sigma,\tau\) 都是 \(A\to A\) 的映射
所以 \(\sigma\tau\) 是 \(A\to A\) 的映射
假设 \(\sigma\tau(a)=\sigma\tau(b)\)
则由定义有 \(\sigma(\tau(a))=\sigma(\tau(b))\)
所以 \(\tau(a)=\tau(b)\)（\(\sigma\) 是双射）
所以 \(a=b\)（\(\tau\) 是双射）
所以 \(\sigma\tau\) 是单射
对于 \(a\in A\)
由于 \(\sigma\) 是双射，所以一定 \(\exists b\in A:\sigma(b)=a\)
同时 \(\tau\) 也是双射，所以一定 \(\exists c\in A:\tau(c)=b\)
即 \(\exists c\in A:\sigma(\tau(c))=a\)
即 \(\forall a\in A:\exists c\in A:\sigma\tau(c)=a\)
所以 \(\sigma\tau\) 是满射
所以 \(\sigma\tau\) 是双射
Q.E.D.

事实上，\(A\to B\) 的双射和 \(C\to A\) 之间做映射乘法总是会得到 \(C\to B\) 的双射（使用类似方法自行证明）。这里这个是很显然的，主要是为了带读者先熟悉证明一个映射是双射的证明流程。这种证明流程在后面的内容中非常常见。

所以我们证明了 \(n\) 元置换的乘法的封闭性，其结合律也不难证明。显然置换的单位元 \(e\) 就是 \(e:A\to A,a\mapsto a\)，而一个置换的逆元就是它的逆映射。因为置换是双射，这种逆映射是必然存在的。

如上，我们证明了所有 \(n\) 元置换关于置换乘法构成了一个群，我们将其记作 \(S_n\)，称其为 \(n\) 元对称群。这种群是人类（Galois）最早研究的群之一。

并不是非要所有 \(n\) 元置换才能关于置换乘法构成群。我们把所有一个 \(n\) 元置换的集合关于置换乘法构成的群都称为置换群。