群论，线段树，与广义矩阵乘法

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代数基础知识

群论

半群

给出一个集合 \(A\) 和定义在集合 \(A\) 上的一个运算 \(\circ\)。如果 \(A\) 与 \(\circ\) 满足以下定律：

• \(\forall a,b \in A ,a \circ b \in A\)
• \(\forall a,b,c \in A,(a \circ b) \circ c=a \circ (b \circ c)\)

则称二元组 \(\langle A,\circ \rangle\) 为半群。也就是一个满足结合律的运算和一个对它完备的集合的二元组。

幺半群

给出一个集合 \(A\) 和定义在集合 \(A\) 上的一个运算 \(\circ\)。如果 \(A\) 与 \(\circ\) 满足以下定律：

• \(\langle A,\circ \rangle\) 为半群
• \(\exists e \in A\)，满足 \(\forall a \in A,e \circ a = a \circ e = a\)

此时称二元组 \(\langle A,\circ \rangle\) 为幺半群。称上面的 \(e\) 为幺元（单位元）。

群

给出一个集合 \(A\) 和定义在集合 \(A\) 上的一个运算 \(\circ\)。如果 \(A\) 与 \(\circ\) 满足以下定律：

• \(\langle A,\circ \rangle\) 为幺半群
• \(e\) 为 \(\langle A,\circ \rangle\) 的单位元，则 \(\forall a \in A\)，都 \(\exists b \in A\)，使得 \(a \circ b = e\)。

此时称二元组 \(\langle A,\circ \rangle\) 为群，称上面的 \(b\) 为 \(a\) 的逆元，记作 \(b=a^{-1}\)。

不难证明：

• \(a \circ a^{-1}=a^{-1} \circ a=e\)
• \(\exists! e \in A\)，\(e\) 是单位元
• \(\forall a\)，都 \(\exists! b=a^{-1}\)
• \((a^{-1})^{-1}=a\)

通常我们记 \(a^1=a\)，\(a^{n}=a^{n-1} \circ a=a^{n+1} \circ a^{-1}(n\in \Z)\)，\(a^0=e\)。

因为结合律的原因，我们可以推出以下结论：

• \((a^{n})^{m}=a^{nm}=(a^{m})^n\)
• \(a^{n+m}=a^n \circ a^m\)

这些都是非常显然的。

所以，我们可以用一个方法来在 \(\Theta(\log n)\) 的时间复杂度内计算 \(a^n(n \in \N)\)。步骤如下：

\(ans:=e,x:=n,y:=a\)
循环：
begin
如果 \(x=0\)：
begin
退出循环
end
如果 \(x \equiv 1 \pmod 2\)：
begin
\(ans:=ans \circ y\)
end
\(y:=y\circ y\)
\(x:=\lfloor \frac{x}{2} \rfloor\)
end

结束运算后，得到 \(ans=a^n\)。

通过类似的方法在半群上定义 \(a^n(n \in \N/\{0\})\) 或在幺半群上定义 \(a^n(n\in \N)\) 后，我们也可以用该算法计算 \(a^n\)。需要注意的是，因为半群中没有单位元，所以我们要将 \(ans:=e\) 修改为 \(ans:=a\)，\(x:=n\) 修改为 \(x:=n-1\)。

这种算法被称作快速幂算法。

交换群

给出一个集合 \(A\) 和定义在集合 \(A\) 上的一个运算 \(\circ\)。如果 \(A\) 与 \(\circ\) 满足以下定律：

• \(\langle A,\circ \rangle\) 为群
• \(\forall a,b \in A,a \circ b=b \circ a\)。

此时称二元组 \(\langle A,\circ \rangle\) 为交换群（阿贝尔群/Abel Group）。类似的，我们定义交换半群和交换幺半群。

例如，\(\langle \N,+ \rangle\) 就是典型的交换群，\(\langle \reals,\times \rangle\) 就是典型的交换幺半群。

环

给出一个集合 \(A\) 和定义在集合 \(A\) 上的两个运算 \(\oplus,\otimes\)。如果 \(A,\oplus,\otimes\) 满足以下定律：

• \(\langle A,\oplus \rangle\) 为交换群
• \(\langle A,\otimes \rangle\) 为半群
• \(\forall a,b,c \in A,(a \oplus b)\otimes c=(a \otimes c) \oplus (b \otimes c)\)。

此时称三元组 \(\langle A,\oplus,\otimes \rangle\) 为环。

线性代数与矩阵

矩阵

有 \(n \times m\) 个数，记作 \(a_{i,j}(i \in \N \cap [1,n],j \in \N \cap [1,m])\)。我们将其排列成如下形式：

\[A=\begin{bmatrix}\end{bmatrix} \]