算法第三章上机实践报告
1. 实践报告任选一题进行分析。内容包括：
1.1 问题描述
设计一个O(n2)时间的算法，找出由n个数组成的序列的最长单调递增子序列。
输入格式:
输入有两行： 第一行：n，代表要输入的数列的个数 第二行：n个数，数字之间用空格格开
输出格式:
最长单调递增子序列的长度
1.2 算法描述
需要计算最长子序列，需要以下几个变量：
- n 表示输入的总序列数
- arr[i] 表示以arr[i] 为尾元素的序列
- arr[t] 表示以arr[t] 为头元素的序列
- max 表示 当前 最长 子序列的长度
- length[i] 表示 当前 单调递增序序列的长度
用动态规划的思想进行计算，共有以下几个步骤：
- 问题分析：该问题要求的是最长子序列，每一个最长子序列都是由短的子序列加一个元素构成，故形成递推关系
- 递推关系为：详见1.3.1
- 该序列为从始到末开始计算：从左到右填表（数组arr），并计算当前序列的最长子序列lenth[i]
- 最优结果：便利数组arr[]得到length[i]的最大值max
1.3 问题求解：
1.3.1 根据最优子结构性质，列出递归方程式
当arr[i] > arr[t] && length[i] < length[t] + 1 时：
由arr[i] > arr[t]可知，前大后小（i > t)
由length[i] < length[t] + 1可知， 前一数组当前最长子序列长度小于后一个数组的最长子序列长度
因此，前一数组的最长子序列需要更新+1
由length[i]记录该序列更新后的最长子序列
max记录总遍历过程中的最长子序列，即为所求结果
lenth[i] ={ length[t] + 1 <- if(arr[i] > arr[t]) length[i] <- if(arr[i] <= arr[t]) }
1.3.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序。
表一：arr[ ]
表的维度：数组arr[i]为一维数组
填表范围：【0， n - 1】
填表顺序；从左到右
表二：length[ ]
表的维度：数组length[i]为一维数组
填表范围：【0， n - 1】
填表顺序；从左到右
1.3.3 分析该算法的时间和空间复杂度
时间复杂度：O（ n ^2）
解释：该算法使用了两层循环，一层为输入，一层为求结果
空间复杂度：O(2n0 + O(1) = O(n)
解释：需要填写两个表（ 数组arr[] 和 length[i] ），以及两个变量（ max 和 n ）
1.4 心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）
实践收获：
学会了如何运用动态规划的方法求解问题，加深了对于动态规划方法的理解，更加熟练地设置判断条件和输入范围，在算法学习上再上一层楼！
疑惑：
对于函数如何调用还是不太明白，每次调用函数都会经历报错再修改的过程，目前理解依旧不透彻。
2. 你对动态规划算法的理解和体会
1、动态规划的求解过程中需要将大问题分解为小问题，按照一定的方向进行递归运算
2、递归过程中要进行比较，关键是通过比较得出当前的最优解
3、在计算过程中，要精简计算过程，减少重复计算
将大问题分解成小问题，这些”小问题“会不会被被重复调用，是运用”动态规划“算法的核心因素
