关于RSA的概念背景不多介绍，有需要自行查找，直接上干货。
1. 设计目标——非对称加密算法
设计一套非对称加密系统，因此需要公钥+私钥，并且满足：
①私钥可以解密公钥
②公钥不能推出私钥
2. 设计灵感——模指数运算+欧拉定理
①模指数运算：为了实现需求，设计者想到了数论中的模指数运算（特点：正向计算容易，逆向计算不可能），这就满足了设计目标里的第②条。但是第①条还没有满足，我们必须让私钥能够解开公钥。所以这里需要一个成对的互逆的运算方法，就借用了下面的欧拉定理。
②欧拉定理：如果整数M和n互质，那么就有MΦ(n)≡1 mod n 成立（即MΦ(n) 与1关于n同余）
Φ(n)是正整数n的欧拉函数，表示小于n且与n互质的正整数的个数
a. 如果n是质数，和任意一个比它小的正整数都是互质的，因此当n是质数时，Φ(n)=n-1，
b. 如果n是合数，我们令n=p*q，则有Φ(n)=Φ(p*q)，根据欧拉函数的”积性“，上式可以分解为Φ(n)=Φ(p)*Φ(q)
怎么理解同余？a≡r mod n 即表示 a mod n =r ，r mod n =a，所以你看，同余就是个循环，绕了一圈还回到自己。
这里多说一句，即使M和n不互质，通过中国剩余定理等其他数学工具照样也能得到上面的同余公式，因此这个公式通用成立。
于是这个同余公式表明，M的Φ(n)次方兜兜转转最后会回到1，可是我们要的是加密解密，所以最终应该回到M才对！
因此，设计者自然考虑了下一步：MΦ(n)+1mod n
由于 MΦ(n)≡1 mod n，那么就有：
MΦ(n)+1=MΦ(n)⋅M≡1⋅M=M mod n
这意味着 MΦ(n)+1≡M mod n
更一般地，对于任何整数 k，都有：
Mk*Φ(n)+1=(MΦ(n))k⋅M≡1k⋅M=M mod n
所以，Mk⋅Φ(n)+1≡M mod n
到了这里，设计者意识到这正是他们所需要的一个循环！
然而仅仅是循环还是不够，因为循环只是单向，而加密解密系统需要的是双向。
因此接下来要考虑，如何融入到加密解密的双向过程里去。
设计者注意到，
指数 (k * Φ(n) + 1) 的一个关键特点：它是一个乘积再加1的形式。
乘积！这意味着它可以被分解！
于是设计者们开始思考，如果我们不是用同一个指数来完成整个循环，而是把这个指数拆成两个因子 e 和 d，让 e * d = k * Φ(n) + 1，会怎么样？
因此整个循环过程就被拆分成了两个独立的步骤：
第一步（加密）：应用第一个因子 e ——C = Me mod n
第二步（解密）：应用第二个因子 d—— M = Cd mod n = (Me mod n)d mod n = M(e*d) mod n = M(k * Φ(n) + 1) mod n ≡ M mod n
这里同余公式的转换中涉及到模指数运算的一个性质，即，模运算不受指数运算的影响，所以 (M^e mod n)^d mod n = M^(e*d) mod n
到这里使用两个不同的指数e 和 d将加密和解密变成了两个独立的操作，但它们组合起来的时候就和原来那个对称的、一步到位的操作完全等效。
接下来要考虑如何将他们变成非对称，也就是公钥私钥的分离？
将其中一个指数（比如e）作为公钥和n一起公开，任何人都可以用它进行加密，
而将另一个指数d严格保密作为私钥，只有拥有者才能解密。
要想确保从公钥无法推出私钥，也就是无法由（e,n）推出d。
根据前面所属，有公式e * d ≡ 1 mod Φ(n)，要想解开这个公式就需要知道Φ(n)，
那么为了难倒天下英雄，就要让Φ(n)的求解非常非常非常困难
于是设计者想到了”大数分解难题“。
前面提到如果n是合数，令n=p*q，则有Φ(n)=Φ(p)*Φ(q)
现在我们让p和q都是质数，那么公式就会变成Φ(n)=Φ(p)*Φ(q)=(p-1)*(q-1)
也就是说，如果攻击者想求出Φ(n)就必须知道p和q，而已知一个巨大合数，反求两个相乘的质数是非常困难几乎不可能，
这也就保证了公钥反推私钥的不可实现。
最终，RSA非对称加密解密流程定义如下：
（1）密钥生成
①选择两个巨大的质数p和q
②计算n=p*q和Φ(n)=(p-1)*(q-1)
③选择整数e使得1<e<Φ(n)，并且e和Φ(n)互质（通常e=65537）
为什么e和Φ(n)互质？因为需要有和e对应的私钥d存在，而若想找到对应的d，就必须满足公式e * d ≡ 1 mod Φ(n)，只有e和Φ(n)互质才能实现
④求出d使得e * d ≡ 1 mod Φ(n)
（2）加密
对于明文M，计算密文C=Me mod n
（3）解密
对于密文C，计算明文M=Cd mod n
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