算法第三章上机实验报告

算法第三章上机实验报告

最低通行费

一个商人穿过一个N×N的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。他要从网格的左上角进，右下角出。每穿越中间1个小方格，都要花费1个单位时间。商人必须在(2N-1)个单位时间穿越出去。而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。请问至少需要多少费用？注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

 

1.1 问题描述

输入格式:

第一行是一个整数，表示正方形的宽度N (1≤N<100)；

后面N行，每行N个不大于100的整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式:

至少需要的费用。

输入样例:

5
1  4  6  8  10 
2  5  7  15 17 
6  8  9  18 20 
10 11 12 19 21 
20 23 25 29 33

输出样例:

109

1.2 算法描述

该题目需要求解最优解，而最优解依赖于最优子解，需要运用递归，求出每个最优子解，即可求解出最优解。因此需要用到动态规划。

需要考虑到每一个解所要依赖的结构，由于只可以从左到右，从上到下，因此递归顺序为从左到右，从上到下来进行填表，将每一个最优解记录在对应的数组里，最终输出数组的最后一个元素即最终解。

1、定义：定义并输入变量n、dp[][];

2、初始化：int dp[101][101];   if(i==1&&j==1)  dp[i][j]=dp[1][1];

3、运用动态规划法

代码如下：

 

 

1.3 问题求解：

1.1.1 根据最优子结构性质，列出递归方程式，

 

边界条件

1.1.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序。

表的维度：二维dp[i][j];

填表范围：i从1到 n，j从1到 n；

填表顺序：从上到下，从左到右

1.1.3 分析该算法的时间和空间复杂度

时间复杂度：由于该算法主要运用了两重循环，时间复杂度为O(n^2);

空间复杂度：算法运用了一个二维数组来存放原始数据和最优子结构，故空间复杂度为O（n^2）。

1.3 心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）

本次实践让我加强对问题分析考虑的能力，有时候过于形象的问题可以具体化，一步步分析，从上一步推导至下一步，实验中由于忽略了初始值的定义而导致结果输出有误，最终多次尝试找到原因。

2. 你对动态规划算法的理解和体会

动态规划算法---最重要的一点是寻找到递归方程式，根据递归方程式来寻找解决问题需要依赖的部分，填表法是一个很好地方法，要注意临界条件的判断。