莫比乌斯反演自我击毙进程1-1

莫比乌斯反演

前情提要：

    关于莫比乌斯翻译，是真的懵逼吾死，莫比乌斯函数（好理解），狄利克雷卷积（能懂不会用），莫比乌斯反演（队友泪两行），杜教筛（呵呵），因为看了两天自己不能自理的推出来，所以写个博客帮助下理解，懂了就改。。。。。。。

积性函数：

• 积性函数：对于所有互质的整数都有$f(ab)=f(a)f(b)$的数论函数。
• 完全积性函数：对于任意的整数都满足$f(ab)=f(a)f(b)$的数论函数

• 常用的积性函数：（常用到几乎你要遇到的题就是n选i个）

• $1(n)$：不变函数$1(n)=1$;(完全积性）     (用1直接写比较直接，后面用$I$来代替，怎么也得给个符号让他升点品格)
• $Id(n)$：单位函数$Id(n)=n$；(完全积性)
• $Idk(n)$：幂函数，对于任何复数、实数k，定义为$Idk(n) = n^k $;(完全积性）

       不是义务教育漏洞的以上函数完全能秒懂，当然这只是万恶的开始

• $\epsilon (n)$：单位元,记:$\epsilon (n)=[n==1]$,其定义为：当且仅当$n=1$时，$\epsilon (n)=1$,否则为0。

     别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”；（完全积性）

• $μ(n)$:  莫比乌斯函数，（积性函数）                     $ \mu(n)\begin{cases}
   & \text 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=1 \\ 
   & \text(-1)^{k} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=p _{1},p_2,p_3,p_4...,p_k （p_i为n的质数因子）\\
   & \text0  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 其他
  \end{cases}$
• $φ(n)$:欧拉函数，在数论中，$φ(n)$表示小于n且与n互质的数的个数。

狄利克雷卷积（∗）：

狄利克雷卷积，记符号∗，是函数与函数之间的关系；

定义积性函数$h(n)=f(n)*g(n)$

                                   $h(n)=\sum_{d|n}^{}f(d)g(\frac{n}{d})$

                                                     或者           

 $h(n)=\sum_{\underset{a,b>0}{ab=n}}^{}f(a)g(b)$

狄利克雷卷积具有以下性质：

• 交换律$f*g=g*f$
• 结合率$h*(g*f)=f*(h*g)$
• 对于所有数论函数，都满足$f(n)*\epsilon (n)=\epsilon (n)*f(n)=f(n)$，这好像是个没用的废话，其实巨有用
• 当$f(n),g(n)$为积性函数的时候，$f(n)*g(n)$也为积性函数，当$h(n)$为积性函数，$g(n)$为积性函数时，$f(n)$也为积性函数
• 如果 $g$为完全积性函数，且$h=f*g$,则$f=h*\mu g$                   

     即若：          

         $h(n)=\sum_{d|n}^{}f(d)\cdot g(\frac{n}{d})$

     则

         $f(n)=\sum_{d|n}^{}h(d)\mu(\frac{n}{d})g(\frac{n}{d})$

           具体怎么推的，推不出来，暂时先记着吧。如果用$1(n)$来替换$g(n)$其实就和莫比乌斯反演的推论一样。

常用的狄利克雷卷积关系有：

              $\mu * I= \epsilon $    即                             $\sum_{d|n}^{}\mu(d)=\begin{cases}
                      & \text1 \ \ \ \ n=1 \\ 
                      & \text0  \ \ \ \ n>1\end{cases}$

   

            $\varphi * I=N $ （其中N(n)=n） 即                        $\sum_{d|n}^{}\varphi (d)=n$

      

             $\mu*N=\varphi $    即                            $\sum_{d|n}^{}\mu(d)(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}d\mu(\frac{n}{d})=\varphi (n)$

       简单的来证一下这个吧

                                                                         $  \varphi *I=N $

 $\rightarrow $    $\varphi *I*\mu=N*\mu$

 $ \rightarrow$           $\varphi *\epsilon=N*\mu$

 $\rightarrow $                 $ \varphi=N*\mu  $              其中$N=n,即为Id(n)$

  

莫比乌斯反演：

    莫比乌斯反演是数论中十分重要的内容，常用于解决组合数的问题，很常见的有$gcd(i,j)$的问题。

    对于莫比乌斯反演其实一年前我就看过一些文章，然后没有然后了，这次本着不是你活就是我亡的大无畏态度，我A了上去，因为不是专门学数学的，这玩意啃起来还是挺有(耗)意(生)思(命)的，没事后面还有一大推数论知识呢o(╥﹏╥)o，别倒在这就行。

   言归正传，关于莫比乌斯反演，主要的预备知识已经介绍完了，那么莫比乌斯反演的结论我先摆出来：

     $f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$

   反演前的函数是$F(n)=\sum_{d|h}f(n)$       关于F(n)和f(n)的关系举例，dudu，就懂了。

   为什么是这样呢，推论过程看着上面欧拉函数和莫比乌斯函数推演的过程自行脑补。

   然后到这里，你会惊奇的发现，莫比乌斯反演的过程，啪，会了！

   对于莫比乌斯反演需要求莫比乌斯函数

   简单的题，或者说不恶心的的题，用线筛就可以了，否则就需要用到杜教筛、Min_25筛什么了。

   这里给一段线筛莫比乌斯数的代码，其实就是线筛+$\mu$的组合

   

int prim[N];
bool vis[N];
int cnt;
int mu[N];
void get_mu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prim[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]<=n/i;j++)
        {
            vis[prim[j]*i]=true;
            if(i%prim[j]==0)
            {
                mu[i*prim[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }

}