线性代数之——微分方程和 exp(At)

本节的核心是将常系数微分方程转化为线性代数问题。

\[\frac{du}{dt}=\lambda u \quad 的解为 \quad u(t) = Ce^{\lambda t} \]

代入 \(t=0\)，可得 \(u(0) = C\)，因此有 \(u(t) = u(0)e^{\lambda t}\)。这是只有一个变量的情况，在线性代数里，我们扩展到 \(n\) 个方程的情况。

\[\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u \quad 初始条件为向量 \quad \boldsymbol u(0)_{t=0} \]

注意，这里 \(A\) 是常矩阵，不随时间而改变。而且这些方程是线性的，如果 \(\boldsymbol u(t)\) 和 \(\boldsymbol v(t)\) 都是方程组的解，那么它们的线性组合 \(C\boldsymbol u(t)+D\boldsymbol v(t)\) 也是解，我们需要 \(n\) 个这样的常数来匹配方程组的初始条件。

1. \(\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u\) 的解

其中一个解是 \(e^{\lambda t} \boldsymbol x\)，\(\lambda\) 是矩阵 \(A\) 的特征值，而 \(\boldsymbol x\) 是特征向量。将这个解代入原方程，利用 \(A\boldsymbol x=\lambda \boldsymbol x\) 可得

\[\frac{d\boldsymbol u}{dt} = \lambda e^{\lambda t} \boldsymbol x = A e^{\lambda t} \boldsymbol x=A \boldsymbol u \]

这个解的所有部分都有 \(e^{\lambda t}\)，当 \(\lambda>0\) 时，解会增长；当 \(\lambda<0\) 时，解会衰减。而当 \(\lambda\) 为虚数时，则它的实部决定解是增长还是衰减。

例 1

求解 \(\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u = \begin{bmatrix}0&1 \\ 1&0\end{bmatrix}\boldsymbol u，\boldsymbol u_0 = \begin{bmatrix}4 \\ 2\end{bmatrix}\)。

矩阵 \(A\) 的特征值为 1 和 -1，特征向量为 (1, 1) 和 (1, -1)，因此两个纯指数解为：

\[\boldsymbol u_1(t) = e^{\lambda_1 t} \boldsymbol x_1 = e^t\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} \]

\[\boldsymbol u_2(t) = e^{\lambda_2 t} \boldsymbol x_2 = e^{-t}\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix} \]

这些 \(\boldsymbol u\) 依然是矩阵的特征向量，它们满足 \(A\boldsymbol u_1 = \boldsymbol u_1\) 和 \(A\boldsymbol u_2 = -\boldsymbol u_2\)，只不过是系数随着 \(t\) 改变罢了。方程组的全解为这些特解的线性组合。

利用初始条件我们可以确定出系数 \(C\) 和 \(D\)。

因此，我们可以通过以下三个步骤来求解 \(\frac{d\boldsymbol u}{dt}=A \boldsymbol u\)。

将 \(\boldsymbol u_0\) 写成特征向量的线性组合，\(\boldsymbol u_0 = c_1 \boldsymbol x_1+\cdots+c_n \boldsymbol x_n\)；
将每个特征向量 \(\boldsymbol x_i\) 乘以 \(e^{\lambda_i t}\)；
全解就是 \(e^{\lambda t}\boldsymbol x\) 的线性组合，\(\boldsymbol u(t) = c_1 e^{\lambda_1 t}\boldsymbol x_1+\cdots+c_ne^{\lambda_n t} \boldsymbol x_n\)。

注意，如果两个特征值相同而只有一个对应的特征向量，那么我们就需要另外一个解 \(te^{\lambda t}\boldsymbol x\)。