随笔分类 - 数学之美
摘要：1. 最小二乘 $Ax=b$ 经常会没有解，当方程个数大于未知数个数，也即 $m n$ 时，列空间并不是 $R^m$ 空间的全部，因此 $b$ 可能不在列空间中，这时候方程组就无解，但我们不应该就此而停止。 也就是误差 $e = b Ax$ 并不总是能得到 0，这时候，如果误差 $e$ 的长度尽可能
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摘要：1. 投影 向量 $ b = (2, 3, 4)$ 在 $z$ 轴上和在 $xy$ 平面上的投影是什么，哪个矩阵能产生到一条线上和到一个平面的投影？ 当 $b$ 被投影到 $z$ 轴上时，它的投影 $p$ 就是 $b$ 沿着那条线的部分。当 $b$ 被投影到一个平面时，它的投影就是 $b$ 在平面中
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摘要：1. 正交子空间 两个向量垂直，意味着 $v^Tw=0$。 两个子空间 $\boldsymbol V$ 和 $\boldsymbol W$ 是正交的，如果$\boldsymbol V$ 中的每个向量 $v$ 都垂直于 $\boldsymbol W$ 中的每个向量 $w$。 想象你处在一个房间里，那么
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摘要：1. 四个基本子空间 行空间 $C(A^T)$，一个 $R^n$ 的子空间，由所有行的线性组合构成，维数为 $r$ 列空间 $C(A)$，一个 $R^m$ 的子空间，由所有列的线性组合构成，维数为 $r$ 零空间 $N(A)$，一个 $R^n$ 的子空间，由所有 $Ax=0$ 的解的线性组合构成，维
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摘要：1. 线性相关性 矩阵 $A$ 的列是 线性不相关的 当且仅当 $Ax=\boldsymbol0$ 的唯一解是 $x=\boldsymbol0$。没有其它的线性组合能给出零向量。 在三维空间中，如果三个向量 $v_1, v_2, v_3$ 不在同一个平面中，那它们就是不相关的，只有 $0v_1+0v
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摘要：1. 矩阵的秩 $m$ 和 $n$ 给出了矩阵的大小，但却不是线性方程组的真正大小。因为，一个 $0=0$ 的方程实际上是不算的。如果 $A$ 中有完全相等的两行，或者第三行是第一行和第二行的线性组合，那么消元过程中就会出现全零的行。线性方程组的真正大小由 秩 来确定。 矩阵的秩是主元的个数，称为
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摘要：1. 向量空间和子空间 向量空间 $\boldsymbol R^n$ 由所有的 $n$ 维向量 $v$ 组成，向量中的每个元素都是实数。 向量空间 $\boldsymbol R^2$ 可以用 $xy$ 平面来表示，其中的每个向量有两个元素，它们定义了平面上一个点的坐标。 在一个向量空间中，如果我们将
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摘要：1. A = LU 之前在消元的过程中，我们看到可以将矩阵 $A$ 变成一个上三角矩阵 $U$，$U$ 的对角线上就是主元。下面我们将这个过程反过来，通一个下三角矩阵 $L$ 我们可以从 $U$ 得到 $A$， $L$ 中的元素也就是乘数 $l_{ij}$。 如果有一个 3 3 的矩阵，假设不需要进
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摘要：1. 矩阵乘法 如果矩阵 $B$ 的列为 $b_1, b_2, b_3$，那么 $EB$ 的列就是 $Eb_1, Eb_2, Eb_3$。 $$\boldsymbol{EB = E[b_1 \quad b_2 \quad b_3] = [Eb_1 \quad Eb_2 \quad Eb_3]}$$
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摘要：1. 消元的思想 针对下面的方程，我们无法直接得到方程的解。 $$\begin{alignedat}{2} &x \space \space&2&y \space=\space 1 \\ 3&x\space+\space&2&y \space=\space 11 \end{alignedat}$$
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摘要：1. 二维向量 在二维平面中，一个二维向量可以用一个箭头来表示，这个箭头起始于原点，终点坐标 $(x, y)$ 分别为向量中的两个元素，而 $c\boldsymbol{v}$ 与 $d\boldsymbol{w}$ 的和则是向量 $\boldsymbol{v}$ 和 $\boldsymbol{w}$
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