最短路算法模板复习

今天复盘了周赛，遇到了很多图论的最短路算法，感觉生疏了，来统一整理复习一下。

单源最短路算法——Dijkstra

Dijkstra

给定一个 $ n $ 个点 $ m $ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。

请你求出 $ 1 $ 号点到 $ n $ 号点的最短距离，如果无法从 $ 1 $ 号点走到 $ n $ 号点，则输出 $ -1 $。

输入格式

第一行包含整数 $ n $ 和 $ m $。

接下来 $ m $ 行每行包含三个整数 $ x,y,z $，表示存在一条从点 $ x $ 到点 $ y $ 的有向边，边长为 $ z $。

输出格式

输出一个整数，表示 $ 1 $ 号点到 $ n $ 号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 $ -1 $。

数据范围

$ 1 \le n,m \le 1.5 \times 10^5 $,
图中涉及边长均不小于 $ 0 $，且不超过 $ 10000 $。
数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过 $ 10^9 $。

输入样例：

3 3
1 2 2
2 3 1
1 3 4

输出样例：

3

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 150010, INF = 0x3f3f3f3f;
int h[N],ne[N],e[N],w[N],idx;
bool st[N];
int dist[N];
int n,m;
typedef pair<int,int>PII;
#define x first
#define y second
void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

void dijkstra()
{
    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > heap;
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    heap.push({0,1});
  
    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        int id = t.y;
        int distance = t.x;
        if (st[id]) continue;
        st[id]=true;
        for (int i=h[id];~i;i=ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j]>distance+w[i])
            {
                dist[j]=distance+w[i];
                heap.push({dist[j],j});
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(h,-1,sizeof h);
    while (m--)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);
    }
  
    dijkstra();
    if (dist[n]==INF) puts("-1");
    else printf("%d\n",dist[n]);
  
    return 0;
}

多源最短路算法——Floyd

Floyd求最短路

这里特别注意对floyd算法中最外层循环k的理解：即当前最多用不超过k的点，来更新各个点之间的最短路径。

即当前循环到k节点，那么我们当前就只最多能用k这个节点作为更新点（当然也可能k这个节点并不能更新，那么就不更新就是了，因此才说用不超过k这个节点来更新），去更新各个点的距离。

给定一个 $ n $ 个点 $ m $ 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

再给定 $ k $ 个询问，每个询问包含两个整数 $ x $ 和 $ y $，表示查询从点 $ x $ 到点 $ y $ 的最短距离，如果路径不存在，则输出 impossible。

数据保证图中不存在负权回路。

输入格式

第一行包含三个整数 $ n,m,k $。

接下来 $ m $ 行，每行包含三个整数 $ x,y,z $，表示存在一条从点 $ x $ 到点 $ y $ 的有向边，边长为 $ z $。

接下来 $ k $ 行，每行包含两个整数 $ x,y $，表示询问点 $ x $ 到点 $ y $ 的最短距离。

输出格式

共 $ k $ 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。

数据范围

$ 1 \le n \le 200 \(, \) 1 \le k \le n^2 \( \) 1 \le m \le 20000 $,
图中涉及边长绝对值均不超过 $ 10000 $。

输入样例：

3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3

输出样例：

impossible
1

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 210;
int dist[N][N];
int n,m,k;
int main()
{
    cin>>n>>m>>k;
    // 没有边的初始化为无穷，自身到自身的距离为0
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
            if (i==j)
                dist[i][j]=0;
  
    while (m--)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        dist[a][b]=min(dist[a][b],c);
    }
  
    for (int k=1;k<=n;k++)
        for (int i=1;i<=n;i++)
            for (int j=1;j<=n;j++)
                dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);
  
    while (k--)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        // 这里不能写成dist[a][b]==0x3f3f3f3f，因为要考虑搭到负权边的存在
        if (dist[a][b]>=0x3f3f3f3f/2) puts("impossible");
        else cout<<dist[a][b]<<endl;
    }
  
    return 0;
}