全网一定不是最好懂的C++线性筛素数

Part 0:概念

先给几个概念(很重要):

  • 合数:如果\(xy=z\text{且}x,y\text{为正整数}\),我们就说\(x,y\text{是}z\text{的合数}\)
  • 素数:如果数\(a\)合数只有\(1,a\),则\(a\)就是一个素数
  • 整除:整数\(b\)除以非零整数\(a\),商为整数,且余数为零, 我们就说\(b\)能被\(a\)整除,记做\(a | b\)。数学中,求一个数的余数的运算叫做取余,用\(a MOD b\)表示求a除以b的余数,计算机中用%
    当然,如果有\(a | b\),那么我们可以写成\(a MOD b = 0\)
  • 不含0,1的所有自然数除了素数就是合数

Part 1:普通筛法及优化到根号

首先,从普通筛法开始:

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
    return 0;
}

判断一个数是不是素数,就从他的定义入手
定义是啥?回顾一下:

如果数\(a\)合数只有\(1,a\),则\(a\)就是一个素数

再次回顾合数的概念:

如果\(xy=z\text{且}x,y\text{为正整数}\),我们就说\(x,y\text{是}z\text{的合数}\)

我们知道,不含0的所有自然数不是素数就是合数,而我们算法的名字叫做筛素数,而素数的定义离不开合数
干脆,我们把合数筛掉吧!
我们从\(xy=z入手\)。显然,\(x,y,z \ neq 0\),可以大胆的除一下:\(x = \frac{z}{y}\)
如果你比较熟悉开头的那些定义,你就会发现:因为\(x\)是个正整数,所以\(z | y\),也就是\(z MOD y = 0\)
这个地方可以好好理解一下

那么,我们开始填充代码:

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
    bool flag = 1;//素数判断标签
    int n = 10;//n代表我们需要筛从1~n的素数
    for(int i = 2;i <= n;i ++){//很重要!公式中的z(也就是这里的i)要从2开始,想想为什么 
        //cout << "i = " << i << endl;
		for(int j = 2;j < i;j ++){//很重要!想想为什么公式中的y(也就是这里的j)为什么从2开始,为什么要比i小? 
			//cout << "进入二层循环,j = " << j << endl;
            if(i % j == 0){//如果是合数
                flag = 0;
                //cout << "i % j = " << i%j << endl;
                //cout << "二层循环if,i = " << i << "j = " << j << endl; 
                break;
            }
        }
         
        if(flag) cout << i << endl;//否则输出
        flag = 1;//小细节~自己模拟一下
    }
}

好的,代码是出来了
可以更快吗?当然可以
我举个例子:36。

36的因数有:{1,36},{2,18},{3,12},{4,9},{6,6}

把36的因数排个序:{1,2,3,4,6},{6,9,12,18,36}
以6为分界线,我们可以把它分为了两份,请注意:
\(\sqrt{36} = 6\)
哇塞!我们只需要循环到\(\sqrt{n}\)我们就可以结束了(因为因数是两两对应的(如果不考虑去重(比如49的因数表暂时定为:1,7,7,49)))
改进一下:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(){
    bool flag = 1;//素数判断标签
    int n = 10;//n代表我们需要筛从1~n的素数
    for(int i = 2;i <= sqrt(n);i ++){//很重要!公式中的z(也就是这里的i)要从2开始,想想为什么 
        cout << "i = " << i << endl;
		for(int j = 2;j < i;j ++){//很重要!想想为什么公式中的y(也就是这里的j)为什么从2开始,为什么要比i小? 
			cout << "进入二层循环,j = " << j << endl;
            if(i % j == 0){//如果是合数
                flag = 0;
                cout << "i % j = " << i%j << endl;
                cout << "二层循环if,i = " << i << "j = " << j << endl; 
                break;
            }
        }
         
        if(flag) cout << "------" << i << endl;//否则输出
        flag = 1;
    }
}

Part 2 真正的筛——埃式筛

刚才那个算法的思想再怎么说,也是个素数
但是,判断合数显然比判断素数更简单
那么,为什么不把合数筛走,剩下的不就是素数了吗?
好办法!接下来我们想下怎么筛
其实啊,可以发现某一个不为0/1的数 × 另一个不为0/1的数 = 合数
那么,假设有一个数\(q\),我们只需要筛掉\(1q,2q,3q\text{……一直到}iq>n\)时,接着q++,继续筛!
上代码:

#include <iostream>
//代码来自https://www.cnblogs.com/Return-blog/p/12307038.html
using namespace std;
bool book[1000000];//素数标记盒子
int main(){  //求1~100以内的素数
    for(int i=2;i<=100;i++)
        if(!book[i]){//因为book数组在main()外部自动填充为0,所以需要!0转换为11
            for(int j=i+i;j<=100;j+=i)//q,2q,3q,4q...
                book[j]=1;//标记上1的就是合数了!
        }
    for(int i=2;i<=100;i++)
        if(!book[i]) cout << i << endl;//是0就输出~
    return 0;
}

哦太棒了!
但是!请你自己模拟一下这个过程,你会发现个奇怪的过程拖慢了速度!

当i = 2 => 2i=4,3i=6,4i=8...
当i = 3 => 2i=6,3i=9,4i=12...
当i = 4 => 2i=8...

Oh No!又开始重复了!
重复怎么办?再筛掉!


Part 3:线性筛

//代码来自https://www.cnblogs.com/Return-blog/p/12307038.html
#include <iostream>
using namespace std;

bool book[20005];
int prime[20005],pos,i,j;
int main(){  //求1~100以内的素数
    for(i=2;i<=100;i++){
        if(!book[i]) prime[++pos]=i; //判断是否被筛过。!0(没有)的话,就记录一下,
        for(j=1;j<=pos;j++){
            if(i*prime[j] > 100) break; //范围:不让他超过i,超过就break
            book[i*prime[j]]=1; //i乘上素数得到的书就标记下,筛过了!
            if(i%prime[j]==0) break; //!!!prime数组 中的素数是递增的,当 i 能整除 prime[j],那么 i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉 想想为什么
        }
    }
    for(int i=1;i<=pos;i++)
        cout << prime[pos];
    return 0;
}

Oh太棒了!你终于搞到了最快的方法
最后送你个福利:证明一下为什么:当 i 能整除 prime[j],那么 i*prime[j+1] 这个合数肯定被 prime[j] 乘以某个数筛掉
首先,prime数组中的素数是递增的(这个不用说)
因为i中含有prime[j],prime[j]比prime[j+1]小
\(i=k\times prime[j]\)
那么\(i\times prime[j+1]=(k\times prime[j])\times prime[j+1]\)
也就是\(k’\times prime[j]\)
看不懂没关系,板子背下来就好了~

posted @ 2020-02-17 15:17  SD!LTF  阅读(...)  评论(...编辑  收藏