洛谷 P2167 [SDOI2009]Bill的挑战

Sheng_bill 不仅有惊人的心算能力，还可以轻松地完成各种统计。在昨天的比赛中，你凭借优秀的程序与他打成了平局，这导致 Sheng_bill 极度的不满。于是他再次挑战你。这次你可不能输。

这次，比赛规则是这样的：

给出 \(N\) 个长度相同的字符串（由小写英文字母和 ? 组成），\(S_1,S_2,\dots,S_N\)，求与这 \(N\) 个串中的刚好 \(K\) 个串匹配的字符串 \(T\) 的个数，答案对 \(1000003\) 取模。

若字符串 \(S_x(1\le x\le N)\) 和 \(T\) 匹配，满足以下条件：

1. \(|S_x|=|T|\)。
2. 对于任意的 \(1\le i\le|S_x|\)，满足 \(S_x[i]= \texttt{?}\) 或者 \(S_x[i]=T[i]\)。

其中 \(T\) 只包含小写英文字母。

\(1\le T\le 5\)，\(1\le N \le15\)，\(1\le|S_i|\le50\)。

---

其实就是问有多少种字符串可以和恰好 \(k\) 个字符串匹配。

考虑容斥，设 \(f_S\) 表示只有 \(S\) 这个集合中的数匹配的方案数，设 \(g_S\) 表示至少有 \(S\) 这个集合中的数的匹配的方案数，那么就有，设 \(q_x\) 表示一个大小为 \(x\) 的集合的容斥系数：

\[ans=\sum_{|S|=k}f_S \]

\[f_S=\sum_{S\in T}q_{|T|}g_T \]

然后考虑算 \(q_x\) ，因为 \(x\ge k\) ，所以考虑大小为 \(x\) 的集合 \(T\) 中一个物品对 \(S\) 的贡献，那么这个的容斥系数是：

\[q_x=\sum_{i=k}^{x}{x-k\choose {i-k}}(-1)^{i-k}=\sum_{i=0}^{x-k}{x-k\choose i}(-1)^{i} \]

\[=(-1+1)^{x-k} \]

只有 \(x=k\) 时 \(q_x=1\) 。

所以最后的答案就是这个式子：

\[ans=\sum_{|S|\ge k}{|S|\choose |S|-k}(-1)^{|S|-k}g(S) \]

然后考虑怎么算 \(g(s)\) ，直接看每一位是不是一样的，如果都是 \(?\) ，说明这个位置有 \(26\) 种选择，所以记 \(x\) 为都是 \(?\) 的位数的个数，\(g(s)=26^x\) 。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
const int N = 50;
const int M = 15;
const int p = 1e6 + 3;
using namespace std;
int T,n,k,len,ans,cnt[1 << M],C[M + 5][M + 5],m2[N + 5];
char ch[M + 5][N + 5];
void prework()
{
    for (int s = 0;s < (1 << M);s++)
        for (int j = 0;j < M;j++)
            if ((s >> j) & 1)
                cnt[s]++;
    for (int i = 1;i <= M;i++)
    {
        C[i][0] = C[0][i] = 1;
        for (int j = 1;j <= i;j++)
            C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % p;
    }
    m2[0] = 1;
    for (int i = 1;i <= N;i++)
        m2[i] = 26ll * m2[i - 1] % p;
}
int g(int S)
{
    int sw = 0;
    for (int l = 1;l <= len;l++)
    {
        int fl = 1;
        char chr = 0;
        for (int i = 1;i <= n;i++)
            if ((S >> i - 1) & 1)
            {
                if (!chr && ch[i][l] == '?')
                {
                    chr = '?';
                    fl = 2;
                    continue;
                }
                if (!chr)
                {
                    chr = ch[i][l];
                    continue;
                }
                if (chr == '?' && ch[i][l] != '?')
                {
                    chr = ch[i][l];
                    fl = 1;
                    continue;
                }
                if (chr != '?' && ch[i][l] == '?')
                    continue;
                if (chr != '?' && ch[i][l] != chr)
                {
                    fl = 0;
                    break;
                }
            }
        if (!fl)
            return 0;
        if (fl == 2)
            sw++;
    }
    return m2[sw];
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    prework();
    while (T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for (int i = 1;i <= n;i++)
            scanf("%s",ch[i] + 1);
        len = strlen(ch[n] + 1);
        ans = 0;
        for (int s = 0;s < (1 << n);s++)
        {
            if (cnt[s] < k)
                continue;
            ans += 1ll * C[cnt[s]][k] * (((cnt[s] - k) % 2 == 0) ? 1 : -1) * g(s) % p;
            ans %= p;
        }
        printf("%d\n",(ans + p) % p);
    }
    return 0;
}