小球放盒子 (组合数总结)

对于小球放盒子问题，可分为以下的八种情况。

\(1、\)盒子相同，球相同，不允许空。

　　这个其实就相当于整数划分问题，就是把球看做数字，把盒子看做每一份。设\(f[i][j]\)为考虑了前\(i\)个，分成了\(j\)份，转移方程为:

\[f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j] \]

\(2、\)盒子相同，球相同，允许空。

　　这个东西就是刚刚求的那个整数划分的前缀和。

\(3、\)盒子相同，球不同，不允许空。

　　第二类斯特林数，设\(f[i][j]\)表示处理了前\(i\)个球 ，用了\(j\)个盒子，转移方程为：

\[f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]*j \]

　　这个东西的含义就是讨论当前新加入的球要放哪，第一种放法就是再开一个盒子：\(f[i][j]+=f[i-1][j-1]\)，第二种方法就是在前面的\(j\)个盒子里随便挑一个放进去，因为有\(j\)个盒子，所以\(f[i][j]+=f[i-1][j]*j\)。

\(4、\)盒子相同，球不同，允许空。

　　第二类斯特林数的前缀和。其实就是看最后放了几个盒子，剩下的都是空的，加起来即可。

\(5、\)盒子不同，球相同，不允许空。

　　比较经典的隔板法，把\(m\)盒子看做\(m-1\)个木板，然后要插入到\(n-1\)个空隙里，所以答案就是\(\large C_{n-1}^{m-1}\)。

\(6、\)盒子不同，球相同，允许空。

　　这个就是上一个的变形，可以添加\(m\)个小球放到这\(m\)个盒子里，这样就保证了盒子非空，答案就是\(\large C_{n+m-1}^{m-1}\)。

\(7、\)盒子不同，球不同，不允许空。

　　这个是第二类斯特林数\(*m!\)，具体怎么证明不太会，好像就是把斯特林数换一种写法 ，然后消掉有序性。

\(8、\)盒子不同，球不同，允许空。

　　对于每一个小球都可以放到\(m\)个盒子里，答案就是\(m^n\)。